Тригонометрический ряд

[passs]

Доказать, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\sin(nx)$ сходится равномерно на отрезке $[0, 2\pi]$ тогда и только тогда, когда${\lim \limits_{x \to 0} na_n = 0$.
Если ряд сходится равномаерно, то ${\lim \limits_{x \to 0} na_n = 0$ я доказал. В обратную сторону не получается.

[gris]

Может быть Вы имели в виду ${\lim \limits_{n \to \infty} na_n = 0?$

А числовой ряд $\sum a_n$ не сходится?

[RIP]

По-видимому, монотонность коэффициентов подразумевается. Доказывается с помощью критерия Коши. Можно считать, что $x\in(0;\pi)$. Сумма $\sum_{n=M}^{N}a_n\sin nx$ разбивается на две (какая-то может оказаться пустой): в первой сумме $nx\le1$, во второй --- $nx>1$. В первой сумме используем грубые оценки $|\sin nx|\le nx$ и $n|a_n|\le\epsilon$ (если $M$ велико), поэтому первая сумма есть $O(\epsilon)$. Во второй сумме применяем суммирование по частям (aka преобразование Абеля) и получаем ту же самую оценку (здесь используется монотонность).

[passs]

А как доказать ограниченность $\sum_{k=n}^Nsin kx$, если $nx>1$(чтобы применить ко второй части суммы преобразование Абеля)?
P.S. Да, монотонность ${a_n}$подразумевается.

[RIP]

А ограниченность не нужна. Нужно $O(n)$ (ведь есть ещё $a_n$). А эта оценка как раз и получается из $O(1/x)$ (поскольку $x\in(0;\pi)$).

[passs]

Да, понятно, спасибо.