Интегрируемость функции Римана

[wall-e]

Как доказать что функция Римана интегрируема по Риману? И чему будет равен ее интеграл?

[gris]

По определению интеграла и доказать. Или через суммы Дарбу. Возьмите отрезок от 0 до 1.

[wall-e]

Не получается доказать что функция Римана интегрируема по Риману. Помогите с доказательством. И чему будет равен ее интеграл?

[AD]

Темы слиты.
Прошу больше не дублироваться.

[gris]

По критерию Лебега о числе точек разрыва.

[AD]

Ну, например, так: берём отрезок $[a,b]$, берём любое $\varepsilon>0$, берём $\delta=\left(\dfrac{6\varepsilon}{\pi^2(b-a)}\right)^2$, тогда наша заведомо неотрицательная интегральная сумма при разбивании на $k$ отрезков, длины которых обозначим $\delta_k$, причем $\delta_1\ge\delta_2\ge\cdots\ge\delta_k$, по неравенству Гёльдера с $p=3$ (ну там см. пункт "евклидово пространство") не превосходит

$$1\delta_1+\frac12\delta_2+\frac12\delta_3+\frac13\delta_4+\frac13\delta_5+\frac13\delta_6+\cdots+\frac1m\delta_k\le\underbrace{\left(1^3+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\cdots+\frac1{m^3}\right)}_k\left(\delta_1^{3/2}+\cdots+\delta_k^{3/2}\right)\le$$ $$\le\left(\sum_{l=1}^\infty\frac1{k^2}\right)\cdot\sqrt{\delta}\Bigl(\underbrace{\delta_1+\cdots+\delta_k}_{\text{длина отрезка}}\Bigr)=\frac{\pi^2(b-a)}6\sqrt{\delta}=\varepsilon$$

Не уверен, что имелось ввиду именно такое решение.
Кстати, а слабо улучшить $\delta$?

[Профессор Снэйп]

А какая функция Римана имелась в виду?

$$ f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z} $$

или

$$ f(x) = \begin{cases} 1/q, &x = p/q,\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, \text{НОД}(p,q) = 1 \\ 0, &x \not\in \mathbb{Q} \end{cases} $$

[AD]

Мы тут все такие телепаты, и догадались, что вторая

[Профессор Снэйп]

И в интеграле Римана, когда разбиение уже сделано, точка в каждом отрезке разбиения произвольная берётся или обязательно середина?

[AD]

Профессор Снэйп в сообщении #293907 писал(а):

точка в каждом отрезке разбиения произвольная берётся или обязательно середина?

Произвооольно. Ибо это интеграл Римана Ну то есть о моде называть интегралом Римана интеграл, у которого берётся точка только в середине, я не слышал. Хотя определения почти наверняка эквивалентны, надо подумать.

[Профессор Снэйп]

Интересно, а так можно?

Цитата:

$k$-разбиением отрезка $[a,b]$ называется последовательность точек $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k < x_{k+1} = b$, такая что $x_{i+1} - x_i < (b-a)/k$ для всех $i$ от $0$ до $k$.

Число $I$ называется интегралом Римана

$$ I = \int_a^b f(x) dx, $$

если для любого $\varepsilon > 0$ существует $K$, такое что для любого $k > K$ и любого $k$-разбиения $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k < x_{k+1} = b$ справедливо

$$ \left| I - \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k f(x_i) \right| < \varepsilon $$

Это будет эквивалентно стандартному определению интеграла Римана?