2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегрируемость функции Римана
Сообщение02.03.2010, 12:08 


26/10/09
57
Как доказать что функция Римана интегрируема по Риману? И чему будет равен ее интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 12:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
По определению интеграла и доказать. Или через суммы Дарбу. Возьмите отрезок от 0 до 1.

 Профиль  
                  
 
 Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 12:16 


26/10/09
57
Не получается доказать что функция Римана интегрируема по Риману. Помогите с доказательством. И чему будет равен ее интеграл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 12:22 
Экс-модератор


17/06/06
5004
 !  Темы слиты.
Прошу больше не дублироваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
По критерию Лебега о числе точек разрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 12:50 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ну, например, так: берём отрезок $[a,b]$, берём любое $\varepsilon>0$, берём $\delta=\left(\dfrac{6\varepsilon}{\pi^2(b-a)}\right)^2$, тогда наша заведомо неотрицательная интегральная сумма при разбивании на $k$ отрезков, длины которых обозначим $\delta_k$, причем $\delta_1\ge\delta_2\ge\cdots\ge\delta_k$, по неравенству Гёльдера с $p=3$ (ну там см. пункт "евклидово пространство") не превосходит $$1\delta_1+\frac12\delta_2+\frac12\delta_3+\frac13\delta_4+\frac13\delta_5+\frac13\delta_6+\cdots+\frac1m\delta_k\le\underbrace{\left(1^3+\frac1{2^3}+\frac1{2^3}+\cdots+\frac1{m^3}\right)}_k\left(\delta_1^{3/2}+\cdots+\delta_k^{3/2}\right)\le$$
$$\le\left(\sum_{l=1}^\infty\frac1{k^2}\right)\cdot\sqrt{\delta}\Bigl(\underbrace{\delta_1+\cdots+\delta_k}_{\text{длина отрезка}}\Bigr)=\frac{\pi^2(b-a)}6\sqrt{\delta}=\varepsilon$$

Не уверен, что имелось ввиду именно такое решение.
Кстати, а слабо улучшить $\delta$? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 15:48 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А какая функция Римана имелась в виду?
$$
f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^z}
$$
или
$$
f(x) = 
\begin{cases}
1/q, &x = p/q,\, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}, \text{НОД}(p,q) = 1 \\
0, &x \not\in \mathbb{Q}
\end{cases}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 15:54 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Мы тут все такие телепаты, и догадались, что вторая :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 16:17 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
И в интеграле Римана, когда разбиение уже сделано, точка в каждом отрезке разбиения произвольная берётся или обязательно середина?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 17:02 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп в сообщении #293907 писал(а):
точка в каждом отрезке разбиения произвольная берётся или обязательно середина?
Произвооольно. Ибо это интеграл Римана :roll: Ну то есть о моде называть интегралом Римана интеграл, у которого берётся точка только в середине, я не слышал. Хотя определения почти наверняка эквивалентны, надо подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция Римана
Сообщение02.03.2010, 18:32 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Интересно, а так можно?

Цитата:
$k$-разбиением отрезка $[a,b]$ называется последовательность точек $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k < x_{k+1} = b$, такая что $x_{i+1} - x_i < (b-a)/k$ для всех $i$ от $0$ до $k$.

Число $I$ называется интегралом Римана
$$
I = \int_a^b f(x) dx,
$$
если для любого $\varepsilon > 0$ существует $K$, такое что для любого $k > K$ и любого $k$-разбиения $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_k < x_{k+1} = b$ справедливо
$$
\left| I - \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k f(x_i) \right| < \varepsilon
$$

Это будет эквивалентно стандартному определению интеграла Римана?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group