Кратные интегралы

[panukov]

Помогите посчитать интеграл. Собственно он сам:

$ \int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N $

Условие - M<N, a>0

-- 02 мар 2010 17:16 --

Есть еще такой:

$ \int\limits_0^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy $

Проверьте условие (указанный интеграл расходится). / GAA

Да действительно. Не обратил внимания. Насколько я понимаю, если взять второй интеграл не от нуля, а от положительной константы, то он аналитически не выразится. Тогра только долбить первый...

PS. Внес изменения в первый. Минус потерял в экспоненте.

[Gafield]

Из соображений симметрии

$$ \int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{x_k}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N= \frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N= $$

$$ =\frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N, $$

а это выражается через $\text{erf}$.

Такой
$ \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy $
выражается (в смысле главного значения).

[panukov]

2 Gafield
Огромное спасибо, помогли.

[panukov]

Немного видоизмененный, относительно моей предыдущей темы

$ \int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\right)^2\prod\limits_{i=1}^Nexp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N $

Как можно с ним побороться?

// 6.03.10 близкие темы соединены. / GAA

[Полосин]

$$ I_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)dx_1...dx_N, $$

$$ I'_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)\sum\limits^N_{i=1}\frac{x_i-a}{\sigma^2}dx_1...dx_N=\frac{I_{m-1}(a)-NaI_m(a)}{\sigma^2}. $$

$I_0(a)$ известен; зная его, вычислим $I_1(a)$, и т.д.

[panukov]

Огромное спасибо.