2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кратные интегралы
Сообщение02.03.2010, 13:49 
Аватара пользователя


29/12/09
16
Омск
Помогите посчитать интеграл. Собственно он сам:

$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N
$

Условие - M<N, a>0

-- 02 мар 2010 17:16 --

Есть еще такой:

$
\int\limits_0^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy
$

Проверьте условие (указанный интеграл расходится). / GAA

Да действительно. Не обратил внимания. Насколько я понимаю, если взять второй интеграл не от нуля, а от положительной константы, то он аналитически не выразится. Тогра только долбить первый...

PS. Внес изменения в первый. Минус потерял в экспоненте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интеграл
Сообщение02.03.2010, 15:54 
Заслуженный участник


22/01/07
605
Из соображений симметрии
$$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{x_k}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N=
\frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N=
$$
$$
=\frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N,
$$
а это выражается через $\text{erf}$.

Такой
$
\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy
$
выражается (в смысле главного значения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать интеграл
Сообщение03.03.2010, 10:39 
Аватара пользователя


29/12/09
16
Омск
2 Gafield
Огромное спасибо, помогли.

 Профиль  
                  
 
 Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 20:49 
Аватара пользователя


29/12/09
16
Омск
Немного видоизмененный, относительно моей предыдущей темы

$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\right)^2\prod\limits_{i=1}^Nexp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N 
$

Как можно с ним побороться?

// 6.03.10 близкие темы соединены. / GAA

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 22:18 
Заслуженный участник


26/12/08
678
$$
I_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)dx_1...dx_N,
$$
$$
I'_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)\sum\limits^N_{i=1}\frac{x_i-a}{\sigma^2}dx_1...dx_N=\frac{I_{m-1}(a)-NaI_m(a)}{\sigma^2}.
$$
$I_0(a)$ известен; зная его, вычислим $I_1(a)$, и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 22:36 
Аватара пользователя


29/12/09
16
Омск
Огромное спасибо. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group