2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кратные интегралы
Сообщение02.03.2010, 13:49 
Аватара пользователя
Помогите посчитать интеграл. Собственно он сам:

$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N
$

Условие - M<N, a>0

-- 02 мар 2010 17:16 --

Есть еще такой:

$
\int\limits_0^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy
$

Проверьте условие (указанный интеграл расходится). / GAA

Да действительно. Не обратил внимания. Насколько я понимаю, если взять второй интеграл не от нуля, а от положительной константы, то он аналитически не выразится. Тогра только долбить первый...

PS. Внес изменения в первый. Минус потерял в экспоненте.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интеграл
Сообщение02.03.2010, 15:54 
Из соображений симметрии
$$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{x_k}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N=
\frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\frac{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N=
$$
$$
=\frac1n\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\prod\limits_{i=1}^N\exp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N,
$$
а это выражается через $\text{erf}$.

Такой
$
\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{y}\exp(-\frac{(y-a)^2}{2b})dy
$
выражается (в смысле главного значения).

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интеграл
Сообщение03.03.2010, 10:39 
Аватара пользователя
2 Gafield
Огромное спасибо, помогли.

 
 
 
 Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 20:49 
Аватара пользователя
Немного видоизмененный, относительно моей предыдущей темы

$
\int\limits_0^\infty...\int\limits_0^\infty\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^Mx_i}{\sum\limits_{i=1}^Nx_i}\right)^2\prod\limits_{i=1}^Nexp(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2})dx_1...dx_N 
$

Как можно с ним побороться?

// 6.03.10 близкие темы соединены. / GAA

 
 
 
 Re: Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 22:18 
$$
I_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)dx_1...dx_N,
$$
$$
I'_m(a)=\int\limits_0^{+\infty}...\int\limits_0^{+\infty}\left(\sum\limits^M_{i=1}x_i\right)^k\right)\left(\sum\limits^N_{i=1}x_i\right)^{-m}\prod\limits^N_{i=1}\exp\left(-\frac{(x_i-a)^2}{2\sigma^2}\right)\sum\limits^N_{i=1}\frac{x_i-a}{\sigma^2}dx_1...dx_N=\frac{I_{m-1}(a)-NaI_m(a)}{\sigma^2}.
$$
$I_0(a)$ известен; зная его, вычислим $I_1(a)$, и т.д.

 
 
 
 Re: Снова интеграл
Сообщение05.03.2010, 22:36 
Аватара пользователя
Огромное спасибо. :D

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group