О системах линейных уравнений

[Sasha2]

А можно ли как нибудь описать совокупность всех систем n линейных уравнений с n неизвестными, имеющих своими корнями заданные n вещественных или комплексных чисел.

[Руст]

Легко $A(r-r_0)=0$. r0 - координаты заданного решения, r неизвестные. Если требуется, чтобы кроме этого решения не было других, надо потребовать, чтобы матрица А была невырожденной.

[Sasha2]

Нет не это:
Нужно найти все квадратные матрицы и все столбцы свободных членов, которые давали бы бы решением заданную n-ку вещественных чисел.

Неизвестных вообще не должно быть.

[maxal]

В $n+1$-мерном пространстве они образуют гиперплоскость, ортогональную вектору $N=(x_1,\dots,x_n,-1)$, где $x_1,\dots,x_n$ - заданная n-ка вещественных чисел.

Для любого базиса $\{y_1,\dots,y_n\}$ этой гиперплоскости, первые $n$ координат векторов $y_1,\dots,y_n$ дают матрицу $A$ размером $n\times n$, а последние (n+1-е) координаты дают вектор-столбец $b$ так, что

$$A\left(\begin{matrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\end{matrix}\right) = b.$$

И наоборот.

[Sasha2]

Не понял, что матрицы образуют гиперплоскость?

[maxal]

Векторы, образованные строками матрицы $(A|b)$, лежат в указанной гиперплоскости.

[Sasha2]

Честно говоря, я не понял (видимо образование не позволяет), но все же вопрос должен звучать так: можно ли пытаться свести решение уравнения n-й степени к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. (Условием ставится только, что для нахождения коэффициентов и свободных членов этой системы должно быть решение отдельных уравнений степени ниже n, а еще лучше если уравнение n-й степени сводить к одному линейному и одному степени n-1).

[e2e4]

Нельзя, первое соображение что пришло на ум: решением уравнения n-й степени, где n>=2 в общем случае являются комплексные числа(включающие в себя натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа). А решением системы линейных уравнений максимум может быть рациональное число. А вы в конце концов предлагаете свести уравнение n-й степени к системе линейных уравнений. Вот так вот

[Sasha2]

Ну и что из этого, уважаемый e2e4?
То есть Вы считаете, что ни одно иррациональное или комплексное число не может быть решением линейного уравнения? Но это не так.

[ИСН]

Месье собирается повторить работу Тартальи-Кардано-Феррари-Чирнгаузена-и-всех-остальных, а потом пойти дальше? Боян. Было 300 лет назад. Ответы известны.

[e2e4]

Sasha2 писал(а):

Ну и что из этого, уважаемый e2e4?
То есть Вы считаете, что ни одно иррациональное или комплексное число не может быть решением линейного уравнения? Но это не так.

Если коэффициенты линейного уравнения не комплексные и не иррациональные, то не может. С другой стороны, вроде бы данного ограничения нет... Беру свои слова назад.

[Sasha2]

ИСН писал(а):

Месье собирается повторить работу Тартальи-Кардано-Феррари-Чирнгаузена-и-всех-остальных, а потом пойти дальше? Боян. Было 300 лет назад. Ответы известны.

А какие там были ответы?

[ИСН]

Вы и сами знаете. Уравнения третьей и четвёртой степеней лечатся. Уравнения пятой степени и выше - в общем виде не лечатся.

[e2e4]

С использованием только арифметических операций и операции извлечения корня разумеется

[Sasha2]

e2e4 писал(а):

С использованием только арифметических операций и операции извлечения корня разумеется

Так я и задавал такой вопрос, что можно ли решение полинома n-й степени к решению системы n линейных уравнений. Причем не обязательно, чтобы коэффициенты и свободные члены этой системы вычислялись как рациональные функции коэффициентов исходного многочлена.