Асимптотическое поведение иррациональных выражений

[frankusef]

Итак, на днях сидя за чашкой чая пришла в голову одна задача.
Постановка:пусть x - некоторое положительное действительное число.Требуется найти такую вещественную функцию f(n), что
$\lim\limits_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^n\sqrt[3]{i^3+x^3}}-f(n)})=0$.
Сам я доказал такую формулу
$\lim\limits_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^n\sqrt[2]{i^2+x^2}}-n^2-[x]^2+2x[x]+\int_0^{n-[x]}\sqrt[2]{t^2+2xt}})=0$.


P.S. Надеюсь есть светлые головы способные думать нестандартно

[Профессор Снэйп]

$$ f(y) = \begin{cases} \sum_{i=1}^y \sqrt[3]{i^3+x^3}, &y \in \mathbb{N} \\ 0, &y \not\in \mathbb{N} \end{cases} $$

Сойдёт за пример "нестандартного мышления"?

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #293570 писал(а):

$$ f(y) = \begin{cases} \sum_{i=1}^y \sqrt[3]{i^3+x^3}, &y \in \mathbb{N} \\ 0, &y \not\in \mathbb{N} \end{cases} $$

Сойдёт за пример "нестандартного мышления"?

Вот это как раз и есть нестандартное решение . Я бы поступил стандартно -- применил формулу суммирования Эйлера-Маклорена и нашел асимптотику этой суммы.

Maple третью степень осилить не может, а вторую вполне.

[ИСН]

Да зачем формулы, и так видно, что его асимптотика - ${n^2+n\over 2}+C$

[frankusef]

Цитата:

Я бы поступил стандартно -- применил формулу суммирования Эйлера-Маклорена и нашел асимптотику этой суммы.

Так примени , и выложи свой результат (нельзя же быть должником до самой смерти).

Цитата:

Сойдёт за пример "нестандартного мышления"?

Меня интересует нетривиальная асимптотика данной суммы ,то-есть ''нерекурсивный результат'' - что-то вроде $g(n)-\int_0^{h(n)}r(t)dt$

[Padawan]

ИСН в сообщении #293610 писал(а):

Да зачем формулы, и так видно, что его асимптотика - ${n^2+n\over 2}+C$

А если поточнее хочется?

-- Пн мар 01, 2010 16:46:54 --

frankusef в сообщении #293611 писал(а):

Цитата:

Я бы поступил стандартно -- применил формулу суммирования Эйлера-Маклорена и нашел асимптотику этой суммы.

Так примени , и выложи свой результат (нельзя же быть должником до самой смерти).

Цитата:

Сойдёт за пример "нестандартного мышления"?

Меня интересует нетривиальная асимптотика данной суммы ,то-есть ''нерекурсивный результат'' - что-то вроде $g(n)-\int_0^{h(n)}r(t)dt$

$$\sum_{k=1}^{n-1}\sqrt[3]{k^3+x^3}=\int_1^n\sqrt[3]{k^3+x^3}\,dk+C(x)-\frac 12 \sqrt[3]{n^3+x^3}+\frac{1}{12}\frac{n^2}{(n^3+x^3)^{2/3}}+O(\frac{1}{n^2})$$

Дальше надо каждое слагаемое разложить по степеням $n$. Как найти $C(x)$ не представляю. Только асимптотику при $x\to 0$ или $x\to\infty$.

[frankusef]

Вчера весь вечер бился над подобной задачей.Напрашывается вопрос, нельзя ли найти разностную асимптотику для подобных сумм, если там фигурируют радикалы произвольной натулальной степени (я уже не говорю о вещественной).

Цитата:

Да зачем формулы, и так видно, что его асимптотика - ${n^2+n\over 2}+C$

Это ''дробная'' асимптотика, она легче (голова от того не так пухнет) . Но вот разностная асимптотика - это другое дело.
В числителе ''дробной'' асимптотики может стоять сумма двух функций, одна из которых будет ''рости'' ,так сказать, медленнее чем знаменатель.Например,$\lim{f_1(n)+f_2(n)\over f_3(n)}=C$. Пусть $\lim{f_2(n)\over f_3(n)}=0$.Но отсюда сдедует, что либо $\lim(f_1(n)+f_2(n)-Cf_3(n))=0$, либо $\lim(f_1(n)-Cf_3(n))=0$, что разумеется вызывает (извиняюсь за тавтологию) недоразумение.
P.S.Нельзя ли для прогулок Подальше выбрать закоулок. Из пьесы «Горе от ума» А. С. Грибоедова, слова Фамусова

[Профессор Снэйп]

Вы бы сформулировали, что от функции $f$ требуется. В условии написано "вещественная функция". Если это все требования к $f$, то я не понимаю, о чём задача

Может, она должна быть гладкой, бесконечно гладкой, аналитической?..

[frankusef]

Цитата:

$\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{k^3+x^3}=\int_1^n\sqrt[3]{k^3+x^3}\,dk+C(x)-\frac12\sqrt[3]{n^3+x^3}+\frac{1}{12}\frac{n^2}{(n^3+x^3)^{2/3}}+O(\frac{1}{n^2})$
Дальше надо каждое слагаемое разложить по степеням $n$. Как найти $C(x)$ не представляю. Только асимптотику при $x\to 0$ или $x\to\infty$

Да,конечно, формула хороша, но тут есть один маленький ньюанс:x - это некоторое постоянное действительное число. При таких условиях, как мне кажется, задача становится проще.

[Padawan]

Это действительное число влияет только на значение $C(x)$, а именно

$$ C(x)=\lim_{n\to\infty}\left ( \sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{k^3+x^3}-\int_1^n\sqrt[3]{k^3+x^3}\,dk-\frac 12 n-\frac{1}{12}\right ) $$

[frankusef]

Цитата:

Вы бы сформулировали, что от функции $f$ требуется. В условии написано "вещественная функция". Если это все требования к $f$, то я не понимаю, о чём задача

Может, она должна быть гладкой, бесконечно гладкой, аналитической?..

Единственное условие Im f = R , ну и естественно монотонная возрастаемость, которая как мне кажется очевидна в силу монотонного роста суммы $\sum_{i=1}^n\sqrt[3]{i^3+x^3}$



P.S.Завтрак математика - это смачно проинтегрированная кусочно-гладкая запеканка с бесконечными заблуждениями на ее окрестностях

-- Пн мар 01, 2010 18:22:12 --

Цитата:

Это действительное число влияет только на значение $C(x)$, а именно

$$ C(x)=\lim_{n\to\infty}\left ( \sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{k^3+x^3}-\int_1^n\sqrt[3]{k^3+x^3}\,dk-\frac 12 n-\frac{1}{12}\right ) $$

Снова-таки, C(x) у вашем случае непостоянная величина, то есть $x\to0$

[Padawan]

frankusef в сообщении #293660 писал(а):

Снова-таки, C(x) у вашем случае непостоянная величина, то есть $x\to0$

Ничто никуда не стремиться. Если $x=\mathrm{const}$, то и $C(x)=\mathrm{const}$

Здесь вопрос вот в чем: зачем Вам нужно это асимптотическое выражение? Вычислить значение суммы при больших $n$? Или для чего?

[Профессор Снэйп]

frankusef в сообщении #293660 писал(а):

естественно монотонная возрастаемость, которая как мне кажется очевидна в силу монотонного роста суммы $\sum_{i=1}^n\sqrt[3]{i^3+x^3}$

Чем же она очевидна? Вы накладываете условие на функцию в целочисленных точках (да и то с точностью до конечного их множества), а делаете вывод о поведении функции во всех действительных точках. И при этом даже непрерывности не требуете! (Хотя она тут тоже ничего бы не дала).

Откуда задача? Если от балды, то чем Вам моё предыдущее решение не нравится?

[frankusef]

Цитата:

Ничто никуда не стремиться. Если $x=\mathrm{const}$, то и $C(x)=\mathrm{const}$

Здесь вопрос вот в чем: зачем Вам нужно это асимптотическое выражение? Вычислить значение суммы при больших $n$? Или для чего?

Примечательность постоянства действительного x в том, что, например, сумму у левой части равенства
$\lim\limits_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^n\sqrt[2]{i^2+x^2}}-n^2-[x]^2+2x[x]+\int_0^{n-[x]}\sqrt[2]{t^2+2xt}})=0$ после некоторых преобразований можно дифференциировать и интегрировать по x, получая при этом новые (возможно даже сходящиеся!) ряды.

Цитата:

Чем же она очевидна? Вы накладываете условие на функцию в целочисленных точках (да и то с точностью до конечного их множества), а делаете вывод о поведении функции во всех действительных точках. И при этом даже непрерывности не требуете! (Хотя она тут тоже ничего бы не дала).

Откуда задача? Если от балды, то чем Вам моё предыдущее решение не нравится?

Тут главное не забыть о том, что $S(n)=\sum_{i=1}^n\sqrt[3]{i^3+x^3}$ есть функция от n, а x - всего лишь параметр;при этом dom S(n)=N .В таком раскладе все условия адекватны.Более того предел lim ведется не по произвольной базе, а во множестве натуральных чисел.Естественно, условия, налагаемые на функцию f должны зависить от суммы S(n).

[Профессор Снэйп]

frankusef в сообщении #293680 писал(а):

Тут главное не забыть...

А что, кто-то об этом забыл?

Какой-то Вы ерундой маетесь!