Асимптотическое поведение иррациональных выражений

[Padawan]

$$S(n)=\frac {n^2+n}{2}+A(x)-\frac{x^3}{3n}+O\left (\frac{1}{n^2}\right)$$

[frankusef]

Можно ли уточнить значение A(x)?

[Padawan]

Нельзя. Зато можно продолжить это разложение вправо.

[frankusef]

В принципе, ответ удовлетворительный.
Несколько минут назад нашел еще одну интересную формулу

$$\lim\limits_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+1}-1}-(n+\frac{1}{2})\sqrt[k]{2n}+\sqrt[k]2\int_0^{\sqrt[k]n} \sqrt[2]{t^k(t^k+1)}dt)=0$$

вычислив еще при этом определенный интеграл

$$\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt=(1-\frac{1}{k+1})\sqrt[k]2$$

-- Пн мар 01, 2010 22:00:08 --

Оговорочка,

$$k\in \mathbb{N}$$

[frankusef]

А можна ли найти асимптотическую формулу для суммы

$$\sum_{i=1}^n{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{i^2-\frac{3}{2}}-1}-1}-1}$$

?

-- Пн мар 01, 2010 23:03:03 --

У меня есть один специальный метод суммирования выражений с радикалами; с помощью него мне удалось найти ''разностные'' асимптотики для многих сумм подобного типа.
Помню, как-то 2 месяца назад я задался вопросом: можно ли просуммировать ряд $\sum_{i=1}^n\sqrt[2]{i^2+x^2}$, то есть найти ''разностную'' асимптотику? Но тогда я не смог дать утвердительный ответ. Неделю назад мне пришел в голову тот замысловатый метод и я просуммировал большое количество подобных рядов.
Не отвлекаясь от данной темы, скажу, что сейчас, наряду с поставленной задачей занимаюсь отысканием подобных формул с радикалами произвольных степеней.
Укого нибудь есть предложение по данным вопросам?

[frankusef]

Ура!Нашел еще одну асимптотику для суммы

$$\sum_{i=1}^n{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{i^2+\frac{1}{4}}-\frac{3}{2}}-1}-1}-1}$$

Вот эта красивая формула

$$\lim\limits_{n\to\infty}(\sum_{i=1}^n{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{i^2+\frac{1}{4}}-\frac{3}{2}}-1}-1}-1}+\int_1^{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{n-1}-1}-1}-1}}\sqrt[2]{g^2(t)+g(t)}dt-(n+\frac{1}{2})\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{\sqrt[2]{n-1}-1}-1}-1})=0,$$

где $g(t)=(((n^2+1)^2+1)^2+1)^2+1$

[Gafield]

frankusef в сообщении #293713 писал(а):

вычислив еще при этом определенный интеграл

$$\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt=(1-\frac{1}{k+1})\sqrt[k]2$$

$$k\in \mathbb{N}$$

При $k=1$ и $k=2$ не сходится. Будет $\frac{1}{4} \left(-4+2 \sqrt{5}+\text{arcsh}(2)\right)$ и $\frac{1}{3} \left(\sqrt{2}+\sqrt{5 \sqrt{5}-11}\right)$ соответственно.

[frankusef]

Может есть ошибка.Вот доказательство
Как известно из мат. анализа справедливо равенство $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{f(\frac{i}{n}})=\int_0^{1}f(t)dt.$ Я уже не помню условий на функцию f , но это ладно. Так вот

$$\lim\limits_{n\to\infty}n^{-(1+\frac{1}{k})}\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+1}-1}=\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt$$

Дальше нужна формула из моих предыдущих рассуждений, а именно

$$\lim\limits_{n \to \infty}(\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+1}-1}-(n+\frac{1}{2})\sqrt[k]{2n}+\sqrt[k]2\int_0^{\sqrt[k]n} \sqrt[2]{t^k(t^k+1)}dt)=0$$

Подставляя вместо суммы $\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+1}-1}$ произведение $n^{1+\frac{1}{k}}\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt$, после всевозможных преобразований, получим искомый результат

$$\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt=(1-\frac{1}{k+1})\sqrt[k]2.$$

Исправьте ,если что не так.

-- Вт мар 02, 2010 19:05:53 --

Я думаю, может

$$k\in \mathbb{N}-\{1;2\}$$

(Забыл код для разности множеств)

[GAA]

frankusef в сообщении #293974 писал(а):

Я думаю, может

$$k\in \mathbb{N} - \{1;2\}$$

(Забыл код для разности множеств)

Нет. Например, при $k=3$ равенство не выполняется.

Во-первых из

frankusef в сообщении #293974 писал(а):

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{f(\frac{i}{n}})=\int_0^{1}f(t)dt.$

не следует

frankusef в сообщении #293974 писал(а):

$$\lim\limits_{n\to\infty}n^{-(1+\frac{1}{k})}\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+1}-1}=\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt$$

Следует, разве что,

$$\lim\limits_{n\to\infty}n^{-(1+\frac{1}{k})}\sum_{i=1}^n\sqrt[k]{\sqrt[2]{4i^2+n^2}-n}=\int_0^{1}\sqrt[k]{\sqrt[2]{4t^2+1}-1}dt.$$

Во-вторых «формула из ваших предыдущих рассуждений» не доказана.

В дальнейшем, пожалуйста, приводите полный текст доказательства, в противном случае тема будет перемещена в «Карантин» до исправления.

[frankusef]

Прошу прощения, не усмотрел.