Нестандартный Нестандартный анализ

[dmd]

Вопрос к профессионалам:
какие гипотетические способности альтернативного анализа привлекут заинтересованное внимание профессиональных математиков?
- аналитическое решение важнейших дифуров типа Навье-Стокса?
- аналитическое (т.е. без привлечения пределов) раскрытие неопределённостей, в том числе многомерных?
- что еще? (не могу больше ничего придумать)

[AGu]

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Я как раз хотел обсудить, новые возможности

Трудно обсуждать то, в отсутствии чего уверен, но я попробую.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Прежде всего возникает вопрос:
А достаточно ли бесконечного числа разрядов в середине числа, чтоб задать любое действительное число?

Их достаточно ровно для того, чтобы аппроксимировать любое (ограниченное) число с точностью до $\varepsilon$.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Например можно рассмотреть, делимость действительных и рациональных чисел.
Но для этого надо знать количество разрядов в нашем бесконечном ряду.

У Вас ведь $\varepsilon$ -- "самое маленькое" число на шкале. Значит, двоичных разрядов будет $\log_2\frac1\varepsilon$.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Предположим, там столько разрядов, что это число делится на все без исключения натуральные числа.

Т.е., например, факториал бесконечно большого натурального числа. (Вы с удивительной скоростью скатываетесь к той "страничке".)

Кстати, советую сосредоточиться и все же начать различать вещественные и гипервещественные числа (или стандартные числа и все числа) и не называть просто "числами" все подряд. Иначе Вы рискуете быть понятым только... эээ... Ладно, проехали.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Тогда, у числа 1/3 последний бит (в нашем представлении) равен единице (посольку в двоичном виде это 0.(01) ) а число всех разрядов - четное.

Не сомневайтесь, так оно и есть. Только это не 1/3, а бесконечно близкое к нему число на Вашей шкале.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Так можно любой полином изучать с точки зрения его четности или делимости на другие числа...

Такое "изучение" равносильно "изучению натуральных чисел с точки зрения их четности". Скучно.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Но, если число 1/3 умножить на три, то мы получим 0.(1) - это число точно не равно единице

Забавные ошибки Вы делаете. Мне уже веселее.

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

- значит все же недостаточно бесконечного числа знаков, для представления любого числа? (с абсолютной точностью)

О какой "абсолютной точности" может идти речь во время прогулок по шкале с фиксированным шагом (даже бесконечно малым)? Если кто-то уронит кошелек между бревнышками, Вам до него не дотянуться.

Нет, увольте. Все это слишком скучно. Неужели Вы сами не видите, что занимаетесь тривиальщиной? Если бы Вы хотя бы грамотно выражались (математически грамотно), какое-то обсуждение еще могло бы завязаться. Увы, тут у Вас не только скучно, но еще и неприятно как-то всё, неопрятно.

[Андрей АK]

AGu в сообщении #293106 писал(а):

Андрей АK в сообщении #293076 писал(а):

Прежде всего возникает вопрос:
А достаточно ли бесконечного числа разрядов в середине числа, чтоб задать любое действительное число?

Их достаточно ровно для того, чтобы аппроксимировать любое (ограниченное) число с точностью до $\varepsilon$.

Но мне не надо с точностью до $\varepsilon$, мне надо с абсолютной точностью.
Вот с таким определением: "Два числа равны, только и если только, их записи совпадают в каждом разряде".

AGu в сообщении #293106 писал(а):

Кстати, советую сосредоточиться и все же начать различать вещественные и гипервещественные числа (или стандартные числа и все числа) и не называть просто "числами" все подряд. Иначе Вы рискуете быть понятым только... эээ... Ладно, проехали.

Если нет названия, то нельзя и особо называть, а названия не будет, пока не будут указаны все свойства чисел ,ведь под конец может оказаться, что наше новое множество чисел, совпадает с действительными, зачем тогда особое название?

AGu в сообщении #293106 писал(а):

О какой "абсолютной точности" может идти речь во время прогулок по шкале с фиксированным шагом (даже бесконечно малым)? Если кто-то уронит кошелек между бревнышками, Вам до него не дотянуться.

Если окажется, что бесконечного числа знаков недостаточно, придётся это признать и ... задавать число $\frac 1 3$ бесконечным рядом $0.(01)+0'(01) \cdot \varepsilon +0'(01) \cdot \varepsilon^2+... $
-А это уже близко к обычным действительным числам ... у которых где-то среди бесконечного списка цифр сделана "пересадочная станция" - освещена ограниченная область разрядов.

AGu в сообщении #293106 писал(а):

Нет, увольте. Все это слишком скучно. Неужели Вы сами не видите, что занимаетесь тривиальщиной? Если бы Вы хотя бы грамотно выражались (математически грамотно), какое-то обсуждение еще могло бы завязаться. Увы, тут у Вас не только скучно, но еще и неприятно как-то всё, неопрятно.

Скучно было бы давать кучу определений, вводить аксиоматику ... только для того , чтоб через пару обсуждений все переиграть и начать все по новому.
Я специально не хочу ничего жестко задавать, чтоб можно было гибко менять условия (если старые вдруг окажутся неприемлимыми).

Например, можно отказаться от "точного" задания числа разрядов... а начать размещать наш "светлый участок" в любом месте , на произвольном расстоянии от начала.
Например, можно так определить количество разрядов: "их простое число"!
Хотя при таком определении невозможно будет задать корень из $\varepsilon$ - а это такой "светлый участок" разрядной прямой, который раположен строго посредине между нулем и $\varepsilon.
А если у $\varepsilon нечетное число разрядов, то середины у него не будет!
Что тогда делать?

[AGu]

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

AGu в сообщении #293106 писал(а):

Их достаточно ровно для того, чтобы аппроксимировать любое (ограниченное) число с точностью до $\varepsilon$.

Но мне не надо с точностью до $\varepsilon$, мне надо с абсолютной точностью.
Вот с таким определением: "Два числа равны, только и если только, их записи совпадают в каждом разряде".

Обрезав число разрядов (даже бесконечно большим числом), Вы потеряли «абсолютную точность». Абсолютная точность достижима только бесконечным числом разрядов (не бесконечно большим, а именно бесконечным). Вы хотите невозможного: оставив на шкале только гиперконечное количество чисел, Вы тем не менее хотите, чтобы на этой шкале оказались все числа. Так не бывает.

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

AGu в сообщении #293106 писал(а):

Кстати, советую сосредоточиться и все же начать различать вещественные и гипервещественные числа (или стандартные числа и все числа) и не называть просто "числами" все подряд.

Если нет названия, то нельзя и особо называть, а названия не будет, пока не будут указаны все свойства чисел

Я не об этом. Элементарная математическая культура не позволяет в одной фразе использовать слово «число» дважды в разных смыслах. Вы сказали: «это число делится на все без исключения натуральные числа». Это безграмотная фраза. Надо было сказать так: «это гипервещественное натуральное число делится на все натуральные числа» (во внешней модельной терминологии). Или так: «это натуральное число делится на все стандартные натуральные числа» (во внутренней аксиоматической терминологии).

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

ведь под конец может оказаться, что наше новое множество чисел, совпадает с действительными

Не волнуйтесь, этого не произойдет. Ваше «новое множество» (гипер)конечно, а всех действительных чисел — (гипер)континуум.

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

Если окажется, что бесконечного числа знаков недостаточно

Очередная безграмотность. Не «бесконечного числа», а «бесконечно большого числа».

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

придётся это признать и ... задавать число $\frac 1 3$ бесконечным рядом $0.(01)+0'(01) \cdot \varepsilon +0'(01) \cdot \varepsilon^2+... $
-А это уже близко к обычным действительным числам ...

Чем Вам обычное множество (гипер)действительных чисел не угодило? Зачем Вы хотите его урезать, заменять какими-то недорядами? Ничего путного из этого не выйдет. Вы занимаетесь не дискретизацией, а дискредитацией.

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

Я специально не хочу ничего жестко задавать, чтоб можно было гибко менять условия (если старые вдруг окажутся неприемлимыми).

Неприемлемыми для чего? Вы бы для начала сформулировали конкретную цель. Тогда, глядишь, мы бы ее проанализировали и пришли бы к выводу, что эта цель либо недостижима, либо уже на самом деле достигнута и никакие издевательства над нестандартным анализом не требуются. На данный момент я разглядел лишь одну туманную мотивацию — получить «красивую теорию чисел». На мой взгляд, эта цель уже давно достигнута классическим анализом (или нестандартным анализом, если очень хочется чего-то нестандартного ).

[Андрей АK]

AGu в сообщении #293254 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292787 писал(а):

Я специально не хочу ничего жестко задавать, чтоб можно было гибко менять условия (если старые вдруг окажутся неприемлимыми).

Неприемлемыми для чего? Вы бы для начала сформулировали конкретную цель. Тогда, глядишь, мы бы ее проанализировали и пришли бы к выводу, что эта цель либо недостижима, либо уже на самом деле достигнута и никакие издевательства над нестандартным анализом не требуются. На данный момент я разглядел лишь одну туманную мотивацию — получить «красивую теорию чисел». На мой взгляд, эта цель уже давно достигнута классическим анализом (или нестандартным анализом, если очень хочется чего-то нестандартного ).

На самом деле я хочу получить более удобную (для численных расчетов) систему решения уравнений (в т.ч. дифференциальных).

Дифференциал, для численных методов, очень неудобная величина - его можно легко найти от известной функции ... но очень трудно как-то записать дифференциал от неизвестной функции (чтоб потом производить с ним какие-то манипуляции).
В нестандартном же анализе, дифференциальное уравнение можно заменить полиномом ... причем не через какие-то сложные преобразования, а напрямую (через разность двух функций).
А записывать полиномы - это уже более простая задача (как и манипуляции с ними).
Естественно здесь нужно все учесть, все тонкости - желательно избавиться от приблизительных формул - поскольку заранее неизвестно непрерывно или нет решение (или может оно стохастично).
Поэтому я и предлагаю, заменить степени переменных - понижающими степенями, а дифференциалы - конечными разностями.
Если при этом будут также сохраняться такие свойства чисел, как делимость ... так и совсем замечательно.
Вот я и ищу представление, в котором достигается максимальная точность расчетов.

[AGu]

EvgenyGR в сообщении #292727 писал(а):

На самом деле я хочу получить более удобную (для численных расчетов) систему решения уравнений (в т.ч. дифференциальных).

Дифференциал, для численных методов, очень неудобная величина - его можно легко найти от известной функции ... но очень трудно как-то записать дифференциал от неизвестной функции (чтоб потом производить с ним какие-то манипуляции).

Для этого есть буковки. Обозначаем дифференциал буковкой и, отправляясь от известных нам свойств неизвестной нам функции, производим над этой буковкой какие-то манипуляции. В чем проблема? (Кстати, для манипуляций над буковками есть готовые пакеты символьных вычислений.)

EvgenyGR в сообщении #292727 писал(а):

В нестандартном же анализе, дифференциальное уравнение можно заменить полиномом ... причем не через какие-то сложные преобразования, а напрямую (через разность двух функций).

Это те же буковки. К примеру, упомянутый Вами полином будет иметь бесконечно большую степень, которую мы будем вынуждены обозначить буковкой, так как среди бесконечно больших натуральных чисел нет ни одного «конкретного» (внутренне определимого какой-либо формулой без параметров). Можно, конечно, в качестве «как бы конкретного» бесконечно большого натурального числа взять внешне определимый объект — например, робинсоновский класс последовательностей, эквивалентных последовательности $(n)_{n\in\mathbb N}$ по фиксированному неглавному ультрафильтру на $\mathbb N$, — но, во-первых, это иллюзорная «конкретность» («конкретных» неглавных ультрафильтров нет), а во-вторых, фиксировать «конкретное» бесконечно большое число незачем, так как нам все равно рано или поздно потребуется его произвольность — для перехода от бесконечно близкой аппроксимации к точному значению. Например, установив, что $x_N\approx0$ для какого-либо бесконечно большого $N$, мы не можем заключить, что заданная последовательность $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ сходится к $0$: для этого нужно, чтобы $x_N\approx0$ было верно для всех бесконечно больших $N$.

EvgenyGR в сообщении #292727 писал(а):

А записывать полиномы - это уже более простая задача (как и манипуляции с ними).

Ну так и записывайте их на здоровье. Весь необходимый аппарат для этого уже готов. Скажем, для любой непрерывной функции на отрезке есть бесконечно близкий к ней полином. Записываем такой полином (обозначив его степень и коэффициенты буковками) и манипулируем им в свое удовольствие. Подставляем его в уравнение, как-то и что-то оцениваем, вычисляем аппроксимации его коэффициентов, потом вспоминаем, что степень полинома был выбрана произвольно, и получаем точное решение — уже в виде ряда, который, если повезет, сойдется к чему-то известному, а если не повезет, — так и останется рядом. Если же a priori не известно, что искомая функция непрерывна, но мы знаем, что она должна быть, например, измеримой — вместо полинома берем ступенчатую функцию с бесконечно большим числом ступенек — и далее по той же схеме.

EvgenyGR в сообщении #292727 писал(а):

Естественно здесь нужно все учесть, все тонкости - желательно избавиться от приблизительных формул - поскольку заранее неизвестно непрерывно или нет решение (или может оно стохастично).
Поэтому я и предлагаю, заменить степени переменных - понижающими степенями, а дифференциалы - конечными разностями.
Если при этом будут также сохраняться такие свойства чисел, как делимость ... так и совсем замечательно.
Вот я и ищу представление, в котором достигается максимальная точность расчетов.

Все уже есть в готовом виде. Ничего нового искать не надо. Вы почему-то хотите заменить вещественную прямую дискретной шкалой и развить на ней анализ. Не получится. Это будет в лучшем случае недоанализ, а в типичном — неанализ. Нестандартная вещественная прямая уже в некотором роде «дискретна», она состоит из монад с центрами в стандартных вещественных числах. Разумеется, в ходе решения конкретных задач, Вы можете, к примеру, разбивать отрезки на бесконечно малые участки, переходить от дифференциальных уравнений к разностным, решать их известными дискретными методами, а потом переходить к точному решению. Это стандартный прием нестандартного решения. Никакие новые числа для этого не нужны.

[Андрей АK]

AGu в сообщении #293291 писал(а):

К примеру, упомянутый Вами полином будет иметь бесконечно большую степень, которую мы будем вынуждены обозначить буковкой, так как среди бесконечно больших натуральных чисел нет ни одного «конкретного» (внутренне определимого какой-либо формулой без параметров).

Есть только одно но.
Любой полином можно заменить системой линейных уравнений, а полином бесконечной степени - бесконечной системой линейных уравнений.
(Я тут уже раньше писал, о том, что алгоритмы могут быть бесконечными).
С одной стороны, какая разница - бесконечно большой полином или бесконечно большая система уравнений.
Так вот возможно, что разница есть.
Теория чисел, даёт как раз пример работы с такими системами.
Если рассматривать бесконечно большое число, то признаки делимости на все натуральные числа меньше корня квадратного - это бесконечно большая система уравнений (определяющая все свойства этого числа).
Но тем не менее мы можем использовать ограниченный набор этих уравнений, для каких-то выводов об этом числе (о его четности или нечетности - может сказать признак делимости на два - и для этого не требуется решать ВСЮ бесконечную систему уравнений, посмотреть последний бит).
Получив информацию о четности, можно исключить это уравнение из списка и тогда, уже признак делимости на три станет последним в списке.
Конечно, здесь сложность возрастает экпоненциально (и не всем признакам делимости достаточно знать последние биты числа) ... но кто сказал, что для решения обычных уравнений все натолько же сложно?
Для них более вероятно, что система уравнений вовсе не бесконечна - она может выродится на каком-то номере или представлять собой сходящийся ряд, каждый следующий член которого выражается через предыдущие и можно по цепочке их решить, до требуемой точности.
Манипулировать буквами - это уже группы Ли - но полиномы ,мне кажется, гараздо проще... (если не считать того что в группах Ли число независимых переменных растет очень быстро (если их вообще не бесконечно много)).

[AGu]

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

Любой полином можно заменить системой линейных уравнений, а полином бесконечной степени - бесконечной системой линейных уравнений.

В рамках чего заменить? С сохранением чего заменить?

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

С одной стороны, какая разница - бесконечно большой полином или бесконечно большая система уравнений.

Разница для чего?

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

Если рассматривать бесконечно большое число, то признаки делимости на все натуральные числа меньше корня квадратного - это бесконечно большая система уравнений (определяющая все свойства этого числа).

Какая система уравнений?

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

Но тем не менее мы можем использовать ограниченный набор этих уравнений, для каких-то выводов об этом числе (о его четности или нечетности - может сказать признак делимости на два - и для этого не требуется решать ВСЮ бесконечную систему уравнений, посмотреть последний бит).

А чем, собственно, важна четность числа? Всякое число на Вашей шкале либо само является четным, либо близко к четному с точнотью до $\varepsilon$. К нечетному тоже. Так что с точки зрения аппроксимации четность роли не играет. С точки зрения пресловутой «абсолютной точности» четность тоже пустышка, так как четность произвольного вещественного числа — бессмыслица, а четность числа на Вашей шкале несравнимо менее интересна, чем, скажем, $36698^{2071445}$-я цифра в десятичном представлении $\pi$. Чем меня осчастливит знание того, что какой-то там туманный $\frac1\varepsilon$-й битик равен нулю?

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

Получив информацию о четности, можно исключить это уравнение из списка и тогда, уже признак делимости на три станет последним в списке.

Делимость на три не более интересна четности.

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

но кто сказал, что для решения обычных уравнений все натолько же сложно?

Не вижу связи между решением обычных уравнений и поиском отдельных бесконечно удаленных битиков, причем удаленных на напрочь неизвестное бесконечно большое расстояние. Работающих математиков волнуют либо точные решения (а Ваша шкала их представлять не умеет), либо приближенные, причем с вполне конкретными реальными приближениями. Анализ бесконечно далеких членов аппроксимаций может пригодиться для оценки приближенного метода в целом, но как я уже говорил, отдельные бесконечно большие числа тут бесполезны: нужно уметь оценивать бесконечно удаленные члены всем скопом, рассматривая произвольные бесконечно большие числа, а не какие-то «фиксированные».

Андрей АK в сообщении #293327 писал(а):

Для них более вероятно, что система уравнений вовсе не бесконечна - она может выродится на каком-то номере или представлять собой сходящийся ряд, каждый следующий член которого выражается через предыдущие и можно по цепочке их решить, до требуемой точности.

Наблюдаю движения вилами по воде. И не вижу решительно никаких преимуществ чего-либо бесконечно малого в этом вырожденном случае.

Итог: я как не понимал Вашей мотивации, так и не понимаю.

[Андрей АK]

Ладно.
Боле подробно я ещё не готов это дело обсуждать.

Хочу только сказать, что мне кажется, что у такой дискретизации есть нераскрытые возможности.