Скорость убывания "последовательности"

[ShMaxG]

Дана некоторая функция $\[{u_0}\left( {x,y} \right) \in D\left( \Delta \right)\]$ (из области определения оператора Лапласа). Требуется определить скорость убывания "последовательности":

$\[{d_{k,m}} = \frac{{\left( {{u_0},{e_{k,m}}} \right)}} {{\left( {{e_{k,m}},{e_{k,m}}} \right)}} = \frac{4} {{{l^2}}}\int\limits_0^l {dx} \int\limits_0^l {dy \cdot {u_0}\left( {x,y} \right)\sin \frac{{\pi kx}} {l}\sin \frac{{\pi my}} {l}} \]$

Например, если $u_0=1$, то $\[{d_{k,m}} = O\left( {\frac{1} {{km}}} \right)\]$.

-- Сб фев 27, 2010 13:27:32 --

А вообще мне надо установить сходимость ряда при фиксированном $t>0$:
$ \[\sum\limits_{k,m = 1}^\infty {d_{k,m}^2\exp \left( { - 2\frac{{{\pi ^2}}} {{{l^2}}}\left[ {{k^2} + {m^2}} \right]t} \right)} \]$

[ewert]

ShMaxG в сообщении #292971 писал(а):

Например, если $u_0=1$, то $\[{d_{k,m}} = O\left( {\frac{1} {{km}}} \right)\]$.

Слишком медленная для того, чтобы функция принадлежала области определения. И неудивительно: Ваш вариант оператора Лапласа подразумевает граничные условия Дирихле, а тождественная единица в область определения такого оператора не входит.

ShMaxG в сообщении #292971 писал(а):

А вообще мне надо установить сходимость ряда при фиксированном $t>0$:
$ \[\sum\limits_{k,m = 1}^\infty {d_{k,m}^2\exp \left( { - 2\frac{{{\pi ^2}}} {{{l^2}}}\left[ {{k^2} + {m^2}} \right]t} \right)} \]$

Ну, этот-то ряд заведомо сойдётся -- экспоненциальное убывание забьёт всё что угодно.

[ShMaxG]

Хм, ведь можно легко показать, что $\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty ,m \to \infty } {d_{k,m}} = 0\]$. Это будет означать, что $\[d_{k,m}^2\exp \left( { - 2\frac{{{\pi ^2}}} {{{l^2}}}\left[ {{k^2} + {m^2}} \right]t} \right) = O\left( {\exp \left( { - 2\frac{{{\pi ^2}}} {{{l^2}}}\left[ {{k^2} + {m^2}} \right]t} \right)} \right),\,k,m \to \infty \]$, поэтому ряд всегда сходится.

Спасибо!

[ewert]

Это, между прочим, отражает хорошо известный факт: независимо от вида начального распределения температуры (у Вас ведь задача теплопроводности, не так ли?) -- в любой положительный момент времени решение уже бесконечно дифференцируемо.

[ShMaxG]

Да, задача теплопроводности. Причем элементарная, в некотором смысле. Обобщенное решение есть всегда, а классическое не всегда (например, при $\[{u_0}\left( {x,y} \right) = xy\left( {x - l} \right)\left( {y - l} \right)\]$). А вот можно ли что-то общее сказать про $u_0(x,y)$, чтобы классическое решение тоже существовало?