Дробная мерность пространства...

[filosoff]

Добрый день.

Вот собственно такой вопрос, возможна ли модель пространства с дробной мерностью, и если возможна, то это вообще как?

Вопрос возник в реультате прочтения горы околонаучных теорий (например активно-рекламируемой теории "академика" Левашова). Кто такой левашов и что написал, а так же что о нем думают, можно посмотреть здесь: http://www.msevm.com/forums/index.php?showforum=56 (сорри за ссылку, но не переписывать же все посты сюда...)

Там же началось обсуждение вопросов мерности пространства, но тема как-то быстро потухла, поэтому пишу сюда: "Кто что об этом думает и возможно ли говорить о дробной мерности в принципе?"

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

И в догонку еще вопросик, что народ думает о многомерности пространства, как вы думаете наша вселенная скольки мерна? Правомерно ли говорить о 4-х мерности, N-мерности?

[long_talking]

Это вполне возможно. Если Вы опишете 3-мерную координату точки 2-мя новыми координатами одинакового типа, то каждая из них будет иметь размерность 1,5.
Но не думаю, что это такая уж сенсация.

Многомерность пространства приветствую. Есть полно задач, требующих нового измерения. Например, риск.

[Macavity]

Дробные размерности используются в фрактальных системах. Такие размерности изучали Хаусдорф и Минковский. Что-то можно почитать в книге Ричарда М. Кроновера "Фракталы и хаос в динамических системах".

Теория струн кажется требует существования 11 измерений. От этого и весь ажиотаж вокруг нового коллайдера. Ожидается, что с помощью его можно будет открыть несколько новых измерений, вероятно свернутых.

Недавно было сообщение, что один математик-физик (ученик Пенроуза) предложил модель пространства с дополнительными двумя измерениями (оригинальность идеи в том, что эти два измерения не пространственноподобны, а времениподобны). Фактически у него получается 3 пространственноподобных измерения и 3 времениподобных.

[H14sk]

http://www.kocmoc.info/star.htm
"Теория нецелой размерности пространств, имеющих нецелое число измерений, была построена советским ученым В.Ю. Колосковым в конце 80-х".

Вопрос: какие еще есть идеи, кроме фрактальности, построения пространств нецелой размерности?

[Someone]

Когда вы все здесь говорите о размерности, что вы имеете в виду? Что вы понимаете под размерностью пространства?

[catet]

Someone в сообщении #292861 писал(а):

Когда вы все здесь говорите о размерности, что вы имеете в виду? Что вы понимаете под размерностью пространства?

А пространство, задаваемое декартовыми координатами является трёхмерным или четырёхмерным? По-моему четырёхмерным. Но в школе вроде бы не этому учили.

[Padawan]

Не надо путать хаусдорфову (фрактальную) размерность пространства с топологической размерностью. Первая существенно зависит от метрики, а вторая - топологический вариант. Именно вторая - "правильная" размерность и принимает только целые значения. А хаусдорфова фактически меряет не размерность множества, а его "массивность". На гладких многообразиях эти два понятия совпадают.

[PapaKarlo]

catet в сообщении #292929 писал(а):

А пространство, задаваемое декартовыми координатами является трёхмерным или четырёхмерным?

Вы путаете размерность пространства и способ построения координатной системы. А если вместо декартовой системы мы возьмём полярную (сферическую, цилиндрическую и т.п.), как будет тогда звучать Ваш вопрос?

Для описания движения в физике используют т.н. линейное пространство с введенной метрикой (у математиков и физиков прошу прощения за возможную корявость формулировок). Понятие "размерность" определяется уже у векторного пространства (даже без введения метрики) - это максимально возможное количество линейно независимых векторов в пространстве. А уж как вводить координатную систему - это другое дело.

[catet]

PapaKarlo в сообщении #293071 писал(а):

catet в сообщении #292929 писал(а):

А пространство, задаваемое декартовыми координатами является трёхмерным или четырёхмерным?

Вы путаете размерность пространства и способ построения координатной системы. А если вместо декартовой системы мы возьмём полярную (сферическую, цилиндрическую и т.п.), как будет тогда звучать Ваш вопрос?
Для описания движения в физике используют т.н. линейное пространство с введенной метрикой (у математиков и физиков прошу прощения за возможную корявость формулировок). Понятие "размерность" определяется уже у векторного пространства (даже без введения метрики) - это максимально возможное количество линейно независимых векторов в пространстве. А уж как вводить координатную систему - это другое дело.

Скорее не путаю, а так думаю. Потому и спрашиваю у Someone, что надо считать размерностью, протяжённость предыдущей размерности или векторное к ней дополнение?
Число 4 я выбрал символически.

[Time]

Macavity в сообщении #64914 писал(а):

Недавно было сообщение, что один математик-физик (ученик Пенроуза) предложил модель пространства с дополнительными двумя измерениями (оригинальность идеи в том, что эти два измерения не пространственноподобны, а времениподобны). Фактически у него получается 3 пространственноподобных измерения и 3 времениподобных.

Эта "новость" порядком устарела. Такую геометрию с тремя пространственноподобными и тремя времениподобными измерениями еще в 50-х годах прошлого века рассматривал советский ученый ДеБартини.

[Someone]

catet в сообщении #293196 писал(а):

Скорее не путаю, а так думаю. Потому и спрашиваю у Someone, что надо считать размерностью, протяжённость предыдущей размерности или векторное к ней дополнение?

Существует много разных понятий размерности.
Самое простое - это алгебраическая размерность линейного пространства: количество векторов в его базисе. Пространство $\mathbb R^3$, обычно определяемое как множество столбцов $\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ действительных чисел с операциями покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на действительные числа, имеет размерность $3$, потому что имеет базис из трёх векторов: $\vec i=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$, $\vec j=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$, $\vec k=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}$.
Одно и то же множество часто можно рассматривать как линейное пространство над разными полями. Например, множество действительных чисел $\mathbb R$ можно считать линейным пространством над ним самим (тогда оно одномерно), а можно - над полем рациональных чисел (тогда его размерность равна континууму). Другой пример - пространство $\mathbb C^2$ столбцов $\begin{pmatrix}z_1\\ z_2\end{pmatrix}$ комплексных чисел, которое двумерно над полем комплексных чисел и четырёхмерно над полем действительных чисел.
Для бесконечномерных пространств существуют разные определения базиса, поэтому возникают дополнительные варианты размерности (уже бесконечной).
В общей топологии существует множество различных определений размерности (затрудняюсь назвать их количество даже приблизительно). Основными являются лебегова размерность $\mathop{\mathrm{dim}}$, определяемая конечными покрытиями, и индуктивные размерности $\mathop{\mathrm{Ind}}$ и $\mathop{\mathrm{ind}}$, определяемые с помощью перегородок. Для метризуемого пространства $X$ всегда $\mathop{\mathrm{ind}}X\leqslant\mathop{\mathrm{Ind}}X=\mathop{\mathrm{dim}}X$, причём, известен пример метриуемого пространства, для которого $\mathop{\mathrm{ind}}X=0$, а $\mathop{\mathrm{Ind}}X=1$. Для более общих пространств, чем метризуемые, все три этих размерности могут оказаться разными. Вместе с тем, $\mathop{\mathrm{ind}}\mathbb R^n=\mathop{\mathrm{Ind}}\mathbb R^n=\mathop{\mathrm{dim}}\mathbb R^n=n$ и $\mathop{\mathrm{ind}}\mathbb C^n=\mathop{\mathrm{Ind}}\mathbb C^n=\mathop{\mathrm{dim}}\mathbb C^n=2n$. Кроме этих трёх, существует ещё множество других размерностей, определяемых как чисто топологически, так и через метрику или равномерные структуры. В алгебраической топологии есть свои определения размерности, не обязательно совпадающие с топологическими.
Все перечисленные размерности по определению являются целыми (индуктивные являются ординалами).
"Дробные размерности" фракталов в топологическом или алгебраическом смысле размерностями не являются. Очень простое объяснение этого феномена я нашёл здесь: "Фрактальная размерность". Топологическая размерность обсуждаемой там звезды Коха равна $1$ (уточнение: построение звезды Коха обычно начинают не с отрезка, а с равностороннего треугольника, поэтому то, что показано в рекомендуемой заметке - это треть звезды Коха). Из этого обсуждения можно также понять, что фрактальная размерность множества является не характеристикой этого множества самого по себе (звезда Коха с топологической точки зрения - это просто окружность, только "очень извилисто уложенная" на плоскость), а характеристикой расположения этого множества в $\mathbb R^2$ (или в $\mathbb R^n$ в более общем случае).

[frankusef]

Цитата:

И в догонку еще вопросик, что народ думает о многомерности пространства, как вы думаете наша вселенная скольки мерна? Правомерно ли говорить о 4-х мерности, N-мерности?

Теория струн, например, утверждает, что пространство состоит из 26 измерений.

[Утундрий]

Macavity в сообщении #64914 писал(а):

Фактически у него получается 3 пространственноподобных измерения и 3 времениподобных.

Забавно. Сразу же вспоминается Бартини.