Определитель n-го пoрядка

[Flight1]

Натолкните, пожалуйста, на мысль, как решить следующие определители n-го порядка:


То же самое текстом:

1)
|  1  0  0  0  ...  0  1  |
|  1  a1 0  0  ...  0  0  |
|  1  1  a2 0  ...  0  0  |
|  1  0  1  a3 ...  0  0  |
|  .....................  |
|  1  0  0  0  ...  1  an |

2)
|  1  2  3  ...  n - 1   n     |
|  1  3  3  ...  n - 1   n     |
|  1  2  5  ...  n - 1   n     |
|  ......................      |
|  1  2  3  ... 2n - 3   n     |
|  1  2  3  ...  n - 1 2n - 1  |

Заранее спасибо)

[maxmatem]

ну с первым всё просто! так как он имеет ступенчатый вид, просто надо перемножить все элементы главной диагонали

[Flight1]

maxmatem в сообщении #292421 писал(а):

ну с первым всё просто! так как он имеет ступенчатый вид, просто надо перемножить все элементы главной диагонали

Тут не так всё просто. Ведь определитель равен произведению элементов главной диагонали в том случае, если все элементы, лежащие по одну сторону главной диагонали, равны нулю. А тут не так. Как можно привести этот определитель к нужному виду?

[gris]

если что-то мешает, то постарайьесь избавится от него
В первой строке много нулей

[ewert]

Разложить первый определитель по последнему столбцу. Один из миноров будет треугольным и соответственно равен произведению диагональных элементов. А другой сведётся к определителю исходного вида (на единицу меньшего размера), если переставить в нём последнюю строчку вверх. Только надо аккуратно проследить за знаками. Получится рекуррентное (по размеру определителя) соотношение.

[Flight1]

Ок, с первым определителем я, кажется, разобрался. Спасибо
А что делать со вторым?

[ewert]

Flight1 в сообщении #292438 писал(а):

А что делать со вторым?

Рекуррентное соотношение получается сразу,если из последнего столбца вычесть $n$ первых.

[TOTAL]

Flight1 в сообщении #292438 писал(а):

А что делать со вторым?

Первую строку отнимите от остальных строк.

[ewert]

(Оффтоп)

Хм. Какой способ лучше?... -- А это смотря с какой стороны...

[Flight1]

Ещё вопрос по первому определителю: насчет рекуррентного соотношения понятно, но можно ли все-таки как-нибудь с помощью элементарных операций преобразовать его, чтобы с одной стороны диагонали остались только нули? У меня что-то никак не получается..

[TOTAL]

Flight1 в сообщении #292453 писал(а):

можно ли все-таки как-нибудь с помощью элементарных операций преобразовать его, чтобы с одной стороны диагонали остались только нули?

1) первую строку отнимаем ото всех кроме второй
2) последовательно зануляем элементы $(1, i), \;\; i=1, \cdots , n$ первой строки, отнимая от неё строку $i+1, \;\; i=1, \cdots , n$, умноженную на подходящее число.
3) первую строку делаем последней

[Flight1]

ewert в сообщении #292435 писал(а):

Разложить первый определитель по последнему столбцу. Один из миноров будет треугольным и соответственно равен произведению диагональных элементов. А другой сведётся к определителю исходного вида (на единицу меньшего размера), если переставить в нём последнюю строчку вверх. Только надо аккуратно проследить за знаками. Получится рекуррентное (по размеру определителя) соотношение.

Так вот, получается такое соотношение, как я понимаю:

∆n = a1*a2*...*an + (-1)^(n+2)*∆n-1

А какие дальше шаги надо делать? Честно говоря, не очень понимаю тему рекуррентных соотношений..

[gris]

Я обычно в таких случаях аккуратно выписываю первые частные случаи.

$\Delta_3=\left| \begin{array}{ccc} 1&0&1\\1&a_1&0\\1&1&a_2\end{array} \right|=a_1a_2+1-a_1=a_1a_2-a_1+1 $

$\Delta_4=\left| \begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\1&a_1&0&0\\1&1&a_2&0\\1&0&1&a_3\end{array} \right|=a_1a_2a_3+(-1)^{4+1}(-1)^{4-2}\Delta_3=$

$a_1a_2a_3-\Delta_3=a_3a_1a_2-a_1a_2+a_1-1 $

$\Delta_5=\left| \begin{array}{ccccc} 1&0&0&0&1\\1&a_1&0&0&0\\1&1&a_2&0&0\\1&0&1&a_3&0\\1&0&0&1&a_4\end{array} \right|=a_1a_2a_3a_4+(-1)^{5+1}(-1)^{5-2}\Delta_3=$

$=a_1a_2a_3a_4-\Delta_4=a_1a_2a_3a_4-a_1a_2a_3+\Delta_3=a_1a_2a_3a_4-a_1a_2a_3+a_1a_2-a_1+1 $

Обычно на пятом-шестом шаге начинаю догадываться.

[ewert]

Flight1 в сообщении #293140 писал(а):

Так вот, получается такое соотношение, как я понимаю:

∆n = a1*a2*...*an + (-1)^(n+2)*∆n-1

Не совсем -- там $n$ в показателе минус единички не будет. Поскольку множитель типа $(-1)^n$ появится дважды: сначала при выписывании алгебраического дополнения, а потом -- при $(n-1)$-кратной перестановке нижней строки вверх.

[gris]

Осталось придумать, как это покрасивше записать
У меня кроме $\Delta_n=\sum\limits_{k=0}^{n}\prod\limits_{i=0}^{k}...$ ничего не получается. Нельзя ли свернуть?