Нестандартный Нестандартный анализ

[Андрей АK]

Попробуем добавить нестандартному анализу ещё немного красоты.

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.

Да!

Числа $\varepsilon$/2 - не существует

Оно равно нулю.

Можно представить себе , что $\varepsilon$ это завершающий бит в бесконечном двоичном представлении любого числа.
Т.е. $\varepsilon$ - это такая единица, очень маленькая.

А множество гипердействительных чисел образует вокруг каждого действительного числа своё пространство ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

Итак вся совокупность числовых множеств начинается с целых чисел, потом переходит в рациональные , затем в действительные ... и при дальнейшей детализации снова переходит в рациональные и целые! (Возвращается к истокам)

Налицо полная симметрия!

То что есть в верхней части "песочных часов" - начало двоичной записи числа (бесконечным рядом нулей и единиц) - то же есть и в конце - наш бесконечный ряд нолей и единиц ... имеет конец!

Просто посредине (между началом и концом) стоит бесконечное число разрядов ... а в конце - последний разряд - и это число эпсилон.

И ,поскольку дальше разрядов нет ... то у нас налицо множество бесконечно больших целых чисел (у которых слева - бесконечное число разрядов)!

Так что тогда есть операция деления?
Например на 2?
Деление на два - это сдвиг всей цепочки разрядов на один разряд вправо.
Самый правый разряд исчезает.
А что тогда умножение на два?
Это сдвиг влево ... плюс самый правый разряд неопределён! (произвольная константа ,ноль или один, умноженная на эпсилон)
Ведь результат умножения - это такое число, которое при делении (сдвиге вправо) даёт исходное число, а такое число определяется только с точностью то последнего разряда.
Опять симметрия - теперь не деление, а умножение становится "сомнительной операцией".

Ну и последнее - надо разобраться с делением на ноль.

Сколько будет $\frac {1} {0} $ ?

Для этого надо поточнее определить операцию деления.
Деления на константы мы определили сдвигом.
А вот деление на переменные - это немного другое.
Рассмотрим функцию
$x^m$
В гипердействительных числах она определена неправильно.
Почему?
Да потому-что (как я раньше писал) гипердействительные числа - это целые числа!
А что в целых числах у нас заменяет возведение в степень?
Это понижающая степень! (в конечных разноcтсях)
Т.е. в гипердействительных числах $x^m$ будет не обычной, а понижающей степенью:
$x*(x- \varepsilon )*...*(x- \varepsilon *m)$
А в конечных разностях функция , "заменяющая" $\frac {1} {x} $ - это $\frac {1} {x+ \varepsilon} $ ! (!-здесь это восклицание, а не факториал)
Подставим вместо $x$ ноль ($x$ пробегает множество действительных, но не гипердействительных чисел):
$0^{-1} = \frac {1} {\varepsilon}$
Что и требовалось!
Итак единица на ноль это бесконечно большое число $\frac {1} {\varepsilon}$

Ура!

Осталось все математические функции переопределить таким образом, чтоб мы никогда не могли получить $1/0$ (всегда бы получалось бы что-то делёное на полином от $\varepsilon$)

И красивая симметричная теория чисел готова!

[venco]

Это вы шутите или серьёзно?
Если серьёзно, то можно и поговорить, если же шутите, то - Ха-ха!

[meduza]

(Оффтоп)

Андрей АK в сообщении #292228 писал(а):

Итак, $\varepsilon$ - это такое маленькое число, меньше которого ничего нет.
Числа $\varepsilon$/2 - не существует.
Оно равно нулю.

После первого предложения я подумал, что $\varepsilon\approx-\infty$, второе поставило меня в замешательтво, а третье убило полностью. Дальше не читал. Вы определитесь там у себя...

[Андрей АK]

Ну какие тут шутки.

Вспомним теперь про дифференциальное исчисление.

Там нам постоянно приходится требовать непрерывность, все время её доказывать и оговаривать ... в общем куча трудностей на пустом месте (ха каламбур - вот здесь можно смеяться).

Это потому что формулы дифференциального исчисления ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЕ!
Они определены с точностью до бесконечно малой окрестности точки.

В конечных разностях же все выражения ТОЧНЫЕ!

Там не требуется от функции непрерывность!

Значит и наш модифицированный нестандартный анализ будет точным - и не требующем непрерывности!

А поскольку дифференциальные операторы практически без модификаций переносятся на операторы в конечных разностях, то мы в дополнение к красивой теории чисел, получаем и более правильную теорию "дифференциальных исчислений".

Это если ещё не вспоминать про классическую теорию чисел, теоремы которой вдруг могут оказаться распространены на область гипердействительных чисел (а значит на функции действительных переменных).

[venco]

Если серьёзно, то:
Как вы уже сказали: $\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0$
Тогда: $\varepsilon = 1\cdot \varepsilon = (\frac 1 2 + \frac 1 2)\cdot \varepsilon = \frac 1 2 \cdot \varepsilon + \frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0 + 0 = 0$
Т.е. либо $\varepsilon = 0$, либо в вашей арифметике не выполняется дистрибутивный закон умножения.

[meduza]

Андрей АK в сообщении #292280 писал(а):

Это потому что формулы дифференциального исчисления ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЕ!

Неправда! Времена, когда "дифференциал" означал что-то типа бесконечно малого приращения ушли в историю. (По-моему в конечных разностях и прилегающим к ним численным методам приближённых формул больше, они откровенно говоря для того и создавались, чтобы приближённо что-то считать...)

[Андрей АK]

venco в сообщении #292289 писал(а):

Если серьёзно, то:
Как вы уже сказали: $\frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0$
Тогда: $\varepsilon = 1\cdot \varepsilon = (\frac 1 2 + \frac 1 2)\cdot \varepsilon = \frac 1 2 \cdot \varepsilon + \frac 1 2 \cdot \varepsilon = 0 + 0 = 0$
Т.е. либо $\varepsilon = 0$, либо в вашей арифметике не выполняется дистрибутивный закон умножения.

Вы просто ещё не "въехали" в правила "перевернутой арифметики".

Число $\frac 1 2 $ в ней - это бесконечно большое число, с единицей, имеющей после себя бесконечное число нулей.

Я же говорил, об отсутствии чисел между $0$ и $\varepsilon$. В каких-то случаях числа становятся неделимыми (квантами) и нельзя их разбивать на суммы. (Но можно разбивать на "целые" суммы , с точностью до эпсилон)

Ещё можно спросить о числе $\varepsilon^2 = \varepsilon*\varepsilon$
С одной стороны - оно ещё более бесконечно мало, с другой единица в квадрате есть единица.

Но, думаю, все это можно решить.

Главное сама идея - рассматривать бесконечно близкую окрестность любого числа - как множество гиперцелых чисел.

Два СОСЕДНИХ действительных числа отстоят друг от друга на бесконечное количество (натуральное множество) гиперцелых чисел ( кратных $\varepsilon$)

-- Чт фев 25, 2010 23:13:48 --

meduza в сообщении #292297 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292280 писал(а):

Это потому что формулы дифференциального исчисления ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЕ!

Неправда! Времена, когда "дифференциал" означал что-то типа бесконечно малого приращения ушли в историю. (По-моему в конечных разностях и прилегающим к ним численным методам приближённых формул больше, они откровенно говоря для того и создавались, чтобы приближённо что-то считать...)

Не понял - когда это конечные разности стали приблизительные?
А дифференциалы - точные?

[venco]

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

Число $\frac 1 2 $ в ней - это бесконечно большое число, с единицей, имеющей после себя бесконечное число нулей.

Число $\frac 1 2$ - это такое число, что если его прибавить к самому себе - получится точно число $1$.
А число $1$ - это такое число, что если на него умножить любое число, то произведение будет точно равно этому числу.
А $0$ - это такое число, что если его прибавить к любому числу, то сумма будет точно равна этому числу.

[meduza]

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

Не понял - когда это конечные разности стали приблизительные?

Я этого не писал (я лишь, к своему сожалению, добавил лирический постскриптум, сказав, что конечные разности применяются в основном в числ. методах, а они сами знаете для чего нужны).

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

А дифференциалы - точные?

Да.

[dmd]

Дифференциал - линейная часть приращения функции, это когда говорят про дифференциал функции. При этом он вовсе не обязан быть "малым" в прямом смысле этого слова. Он может быть любым, но строго таким, чтобы сохранялась непротиворечивость логической конструкции "для любого эпсилон найдётся такое дельта, что...", без которой не возможно фактически ни одно доказательство в анализе. Поэтому дифференциал - это оператор, в который заложены не только линейная часть приращения функции, но и "нелинейная логика" его существования. Я бы назвал дифференциал специфической эвристикой, эвристическим оператором. Он в полном смысле не алгебраичен, ибо содержит логическую часть, поэтому всегда будет вызывать вопросы.
Дифференциал - не "точный" и не "приближенный", он просто оператор, возвращающий линейную часть приращения при некоторых условиях.

[Андрей АK]

venco в сообщении #292342 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

Число $\frac 1 2 $ в ней - это бесконечно большое число, с единицей, имеющей после себя бесконечное число нулей.

Число $\frac 1 2$ - это такое число, что если его прибавить к самому себе - получится точно число $1$.
А число $1$ - это такое число, что если на него умножить любое число, то произведение будет точно равно этому числу.
А $0$ - это такое число, что если его прибавить к любому числу, то сумма будет точно равна этому числу.

Среди целых чисел, числа $\frac 1 2 $ нет.
Обычную единицу можно разбить на сумму двух одинаковых чисел, число $\varepsilon - нельзя.
В обратной арифметике, нельзя получить (никакими операциями) не только единицы делёной на ноль, но и дробного числа от $\varepsilon.

Можно сказать, что для $\varepsilon - все операции выглядят некими полиномами от целых чисел, с целыми коэффициентами.
Интересно, как вы смжете при помощи такого полинома получить дробное число?

-- Пт фев 26, 2010 00:08:24 --

dmd в сообщении #292351 писал(а):

Дифференциал - линейная часть приращения функции, это когда говорят про дифференциал функции. При этом он вовсе не обязан быть "малым" в прямом смысле этого слова. Он может быть любым, но строго таким, чтобы сохранялась непротиворечивость логической конструкции "для любого эпсилон найдётся такое дельта, что...", без которой не возможно фактически ни одно доказательство в анализе. Поэтому дифференциал - это оператор, в который заложены не только линейная часть приращения функции, но и "нелинейная логика" его существования. Я бы назвал дифференциал специфической эвристикой, эвристическим оператором. Он в полном смысле не алгебраичен, ибо содержит логическую часть, поэтому всегда будет вызывать вопросы.
Дифференциал - не "точный" и не "приближенный", он просто оператор, возвращающий линейную часть приращения при некоторых условиях.

Вот это "для любого эпсилон найдётся такое дельта, что..." - и есть приближение.
Существуют функции, для которых этот дельта никогда не найдётся.
Вот, а если просто использовать конечную разность - то ничего этого не требуется.
"Дифференциал" становится ТОЧНЫМ - т.е. применим и для функции для которой "дельта не найдется" - т.е. для разрывной.

[venco]

Андрей АK в сообщении #292352 писал(а):

venco в сообщении #292342 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292329 писал(а):

Число $\frac 1 2 $ в ней - это бесконечно большое число, с единицей, имеющей после себя бесконечное число нулей.

Число $\frac 1 2$ - это такое число, что если его прибавить к самому себе - получится точно число $1$.
А число $1$ - это такое число, что если на него умножить любое число, то произведение будет точно равно этому числу.
А $0$ - это такое число, что если его прибавить к любому числу, то сумма будет точно равна этому числу.

Среди целых чисел, числа $\frac 1 2 $ нет.

Причём тут целые числа? Если у вас есть числа $0$, $1$, $\frac 1 2$ с выше-приведёнными определениями, то $\varepsilon = 0$.

Андрей АK в сообщении #292352 писал(а):

Обычную единицу можно разбить на сумму двух одинаковых чисел,

Вот эти одинаковые числа и обозначаются символами $\frac 1 2$.

Андрей АK в сообщении #292352 писал(а):

число $\varepsilon - нельзя.

Вот из этого и следует, что $\varepsilon = 0$ (доказательство см. выше).

[Андрей АK]

venco в сообщении #292379 писал(а):

Андрей АK в сообщении #292352 писал(а):

число $\varepsilon - нельзя.

Вот из этого и следует, что $\varepsilon = 0$ (доказательство см. выше).

Еще раз повтояю, здесь должны быть введены особые математические операции, сложения и умножения.
Например, умножение:
$a*b=a*(b-\varepsilon)$
деление:
$a/b=a/(b+\varepsilon)$
Над сложением я еще не думал, но вполне возможно ,что что-то типа:
$a+b=a+b+\varepsilon$

Тогда: 0+0=$\varepsilon$
Или что-то в этом роде...
А ещё надо правильно найти, сколько будет: $p=\varepsilon/(2+\varepsilon)$
Это может быть какой-то полином от $\varepsilon$, обладающий свойством $p+p=\varepsilon$

[venco]

Андрей АK в сообщении #292388 писал(а):

Еще раз повтояю, здесь должны быть введены особые математические операции, сложения и умножения.

Ну так вводите! И перечисляйте здесь определения и свойства этих "особых математических операций". Пока же с обычными операциями получается $\varepsilon=0$.

[p51x]

Андрей АK в сообщении #292388 писал(а):

Например, умножение:
$a*b=a*(b-\varepsilon)$

Вашего умножение обладает ассоциативность и дистрибутивностью? Чему равно $a\cdot \varepsilon$?