производная, первообразная

[Ased]

Помогите решить пожалуйста:

Найдите производную функции $y=2^x^3^-^2^xsin3x$
у меня получилось $2^x^3^-^2^x(ln2sin3x(3x^2-2)+cos3x)$ - правильно ?
x в кубе...
Найдите первообразную функции $y=(6x^2+1)e^2^x^3^+^x$
x опять в кубе...)
Найдите точки экстремума функции $y=ln^3x-3lnx+7$
не знаю какая будет производная $ln^3x$
найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\frac 6 {x+1}$ , $y=0$ , $x^2-5x+4=0$
не понял исходя из графика площадь чего нужно найти...
Проведите исследование и постройте график функции $y=e^x^3^-^3^x$
и опять x в кубе...

[meduza]

Пишите формулы в TeX. Это обязателньно.

1) Неправильно. Тут лучше сначала найти $(\ln y)'$. Если вы так и делали, то покажите своё решение.
2) Посмотрите внимательно на функцию, может сразу напишите первообразную? Если нет, то в инетграле подведите под знак дифференциала показатель экспоненты.
Ну и в остальных примерах покажите, до куда дошли.

[AKM]

Ased в сообщении #292194 писал(а):

Найдите производную функции $y=2^x^3^-^2^xsin3x$
у меня получилось $2^x^3^-^2^x(ln2sin3x(3x^2-2)+cos3x)$ - правильно ?

Такая $y=2^{x^3-2x}\sin 3x$? Подтвердите. Про производную ща подумаем.
Код: $y=2^{x^3-2x}\sin 3x$ (сложный показатель степени я засунул в фигурные скобки)Также \sin x, \ln 2 --- палочка перед именем функции.

-- Чт фев 25, 2010 23:10:10 --

Предлагаю сначала поработать с функцией $g(x)=2^{x^3-2x}$.
Возьмём $\ln g =(x^3-2x)\ln 2$, и продифференцируем:

$$\underbrace{(\ln g)'=\dfrac{g'}{g}}_\text{\color{blue}понятно, почему так?}=(3x^2-2)\ln 2.$$

Теперь находим $g'$. Теперь дифференцируем наше исходное $y=g(x)\sin 3x$ как произведение двух функций.
(Есть такая темка --- "логарифмическая производная". Посмотрите)

[meduza]

AKM в сообщении #292353 писал(а):

Предлагаю сначала поработать с функцией $g(x)=2^{x^3-2x}$

Проще сразу исходную $y$ прологарифмировать.

[AKM]

Кабы себе делал, так и поступил бы втихаря. Но вдруг спросят --- а как это Вы отрицательный синус логарифмируете? Разговоров не оберёшься потом...

[Ased]

у меня получилось $2^{x^3-2x}(ln2sin3x(3x^2-2)+3cos3x)$ - я просто здесь общий множитель вынес... помойму правильно

-- Пт фев 26, 2010 07:22:16 --

Я вроде все сделал...

[AKM]

Правильно. Малость поаккуратнее перепишу: $2^{x^3-2x}[\sin3x(3x^2-2)\ln2 +3\cos 3x]$

[gris]

Я вот только не понял, зачем все для обычной экспоненты рекомендуют логарифмическую производную? Это ж обычная сложная функция.
Другое дело, если переменная входит в основание

$\left(e^{x^3-2x}\right)'=e^{x^3-2x}\cdot (x^3-2x)'=e^{x^3-2x}\cdot (3x^2-2)$

$\left(x^{x^3-2x}\right)'=e^{\ln x^{x^3-2x}}=e^{(x^3-2x)\ln x}=e^{(x^3-2x)\ln x}\cdot ((x^3-2x)\ln x)'=$
$=x^{x^3-2x}\cdot \left(\dfrac{x^3-2x}x+(3x^2-2)\ln x\right)-C$

Про $-C$ сам слышал. Типа при интегрировании це-большое добавляем, а при дифференцировании отнимаем.

[AKM]

gris в сообщении #292499 писал(а):

Я вот только не понял, зачем все для обычной экспоненты рекомендуют логарифмическую производную? Это ж обычная сложная функция.

Возможно, один ошибся, другой уже под гипнозом стал в ту же дудку дуть. Спешат, не додумывают...
Спасибо, gris, что указали.

[gris]

Вот уж не думал указывать
Тем более это не ошибка. Просто как-то вот так решил поумничать поучаствовать в разговоре.

[Ased]

Найдите первообразную функции $y=(6x^2+1)e^{2x^3+x}$
тут у меня вышло: $e^{2x^3+x}+c$

-- Пт фев 26, 2010 14:35:16 --

Найдите точки экстремума функции $y=ln^3x-3lnx+7$
тут производная вышла: $\frac 3{x}(ln^2x-1)$
min при x=e

[AKM]

У меня похожий ответ: $e^{2x^3+x}+1000$.

-- Пт фев 26, 2010 14:36:59 --

Кстати, и $e^{2x^3+x}+1.5$ и $e^{2x^3+x}-3$ подходят! Я проверил дифференцированием.

[Ased]

Мне значения с не надо...
первообразная была нужна для нахождения интеграла...

[AKM]

Правильный ответ для той первообразной --- $e^{2x^3+x}+C$, где С --- любая константа (0, тыща, -3).
А призводнаю сосчитана правильно.

[Ased]

2 последних тоже сделал...
В общем спасибо всем!)