2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функ.Ан., оператор в банаховом пространстве
Сообщение23.02.2010, 22:12 


21/12/08
130
$X$-Банахово
$A:X\rightarrow X$
$\|A(x-y)\|=\|x-y\|$
Доказать, что область значений A подпространство X.

Натолкните на мысль пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 22:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, во-первых, оператор подразумевается линейным (иначе с чего бы заводить речь о подпространстве). Во-вторых, тогда условие выглядит явно пижонским: нет чтобы просто сказать, что $\|Ax\|\equiv \|x\|$. В-третьих, тогда оператор непрерывен в обе стороны, и уж в какую сторону ни крути -- всяко замкнутое множество переводит в замкнутое.

В общем, со всех сторон таинственная задачка: и кому только такие в голову приходят?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 22:41 


21/12/08
130
Ну на самом деле в задаче было написано что оператор изометрический.

То что оператор линейный - ясно. Только с такими пока и сталкивался.

А вот насчет "в-третьих" можно подробнее?

Я так понимаю, надо доказать замкнутость области значений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
ewert в сообщении #291631 писал(а):
В-третьих, тогда оператор непрерывен в обе стороны, и уж в какую сторону ни крути -- всяко замкнутое множество переводит в замкнутое.
А вот это априори совсем не очевидно. Ведь ``обратный'' оператор будет непрерывен на $AX$, поэтому и образ будет замкнутым в топологии $AX$, а нужна замкнутость в $X$. В этом и состоит соль задачи.

Проверять удобно секвенциальную замкнутость, т.е. если $Ax_n\to y$, то найдётся $x$, что $Ax=y$. Разумеется, надо взять $x=\lim x_n$. То, что этот предел существует, предлагаю доказать самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 23:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.

Ну или тупо в лоб, на пальчиках. Если последовательность $\{Ax_n\}$ фундаментальна, т.е. если $\|Ax_n-Ax_m\|\to0$ при $n,m\to0$, то и $\|x_n-x_m\|\to0$, откуда $\exists x:\ \|x_n-x\|\to0$. Но тогда и $\|Ax_n-Ax\|\to0$. Т.е. пределом любой такой последовательности $\{Ax_n\}$ является некий элемент $y=Ax$ именно из области значений.

Но это глупо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
ewert в сообщении #291640 писал(а):
Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.
А где здесь используется банаховость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение23.02.2010, 23:09 


21/12/08
130
Ну может для знатоков и глупо, а для студентов, просто не понятно:)

И еще задачка, на ту же тему:
Пусть $X,Y$ - банаховы.
$A:X\rightarrow Y$ линейный, ограниченный оператор.
Верно ли, что равенства:
1)$ \|x\|=\|Ax\|$
2)$\|x\|=\|x\|+\|A\|$
задают норму в $Y$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение24.02.2010, 00:05 
Заблокирован


19/06/09

386
Найдите определение нормы и подумайте над вопросами:
1)Этот оператор обязательно переводит ненулевой вектор в ненулевой?
2)И как тут выполнено свойство линейности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение24.02.2010, 00:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
G_Ray в сообщении #291643 писал(а):
Верно ли, что равенства:
1)$ \|x\|=\|Ax\|$
2)$\|x\|=\|x\|+\|A\|$
задают норму в $Y$?

Неверно. И дело даже не в том, что во второй строчке икс явно потерян. Дело гораздо хуже: там вообще никаких признаков игреков не наблюдается, а стал быть -- утверждения откровенно бессмысленны. Скорректируйте, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение24.02.2010, 00:26 


21/12/08
130
Норму в $X$ конечно же.

-- Ср фев 24, 2010 02:35:24 --

И конечно же, икс пропущен во втором случае.
Вроде в обоих случаях равенства задают норму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение24.02.2010, 00:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Во втором -- очевидно. В первом -- очевидно нет (оператор ведь может иметь и ненулевое ядро). И, кстати, во избежание недоразумений неплохо бы проявлять аккуратность в обозначениях слева, типа: $\|\cdot\|_{\text{ну немножко так новенькая}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение24.02.2010, 01:09 


21/12/08
130
Спасибо. Учту все замечания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функ.Ан.
Сообщение25.02.2010, 16:17 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
ewert в сообщении #291640 писал(а):
Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.
... в образе прямого отображения. ;-)
ewert в сообщении #291640 писал(а):
Но это глупо.
Можно слегка сумничать, заметив, что полнота одного из изометричных пространств влечет полноту другого и что полное пространство замкнуто в чем угодно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group