Функ.Ан., оператор в банаховом пространстве

[G_Ray]

$X$-Банахово
$A:X\rightarrow X$
$\|A(x-y)\|=\|x-y\|$
Доказать, что область значений A подпространство X.

Натолкните на мысль пожалуйста.

[ewert]

Ну, во-первых, оператор подразумевается линейным (иначе с чего бы заводить речь о подпространстве). Во-вторых, тогда условие выглядит явно пижонским: нет чтобы просто сказать, что $\|Ax\|\equiv \|x\|$. В-третьих, тогда оператор непрерывен в обе стороны, и уж в какую сторону ни крути -- всяко замкнутое множество переводит в замкнутое.

В общем, со всех сторон таинственная задачка: и кому только такие в голову приходят?...

[G_Ray]

Ну на самом деле в задаче было написано что оператор изометрический.

То что оператор линейный - ясно. Только с такими пока и сталкивался.

А вот насчет "в-третьих" можно подробнее?

Я так понимаю, надо доказать замкнутость области значений?

[RIP]

ewert в сообщении #291631 писал(а):

В-третьих, тогда оператор непрерывен в обе стороны, и уж в какую сторону ни крути -- всяко замкнутое множество переводит в замкнутое.

А вот это априори совсем не очевидно. Ведь ``обратный'' оператор будет непрерывен на $AX$, поэтому и образ будет замкнутым в топологии $AX$, а нужна замкнутость в $X$. В этом и состоит соль задачи.

Проверять удобно секвенциальную замкнутость, т.е. если $Ax_n\to y$, то найдётся $x$, что $Ax=y$. Разумеется, надо взять $x=\lim x_n$. То, что этот предел существует, предлагаю доказать самостоятельно.

[ewert]

Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.

Ну или тупо в лоб, на пальчиках. Если последовательность $\{Ax_n\}$ фундаментальна, т.е. если $\|Ax_n-Ax_m\|\to0$ при $n,m\to0$, то и $\|x_n-x_m\|\to0$, откуда $\exists x:\ \|x_n-x\|\to0$. Но тогда и $\|Ax_n-Ax\|\to0$. Т.е. пределом любой такой последовательности $\{Ax_n\}$ является некий элемент $y=Ax$ именно из области значений.

Но это глупо.

[RIP]

ewert в сообщении #291640 писал(а):

Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.

А где здесь используется банаховость?

[G_Ray]

Ну может для знатоков и глупо, а для студентов, просто не понятно:)

И еще задачка, на ту же тему:
Пусть $X,Y$ - банаховы.
$A:X\rightarrow Y$ линейный, ограниченный оператор.
Верно ли, что равенства:
1)$ \|x\|=\|Ax\|$
2)$\|x\|=\|x\|+\|A\|$
задают норму в $Y$?

[jetyb]

Найдите определение нормы и подумайте над вопросами:
1)Этот оператор обязательно переводит ненулевой вектор в ненулевой?
2)И как тут выполнено свойство линейности?

[ewert]

G_Ray в сообщении #291643 писал(а):

Верно ли, что равенства:
1)$ \|x\|=\|Ax\|$
2)$\|x\|=\|x\|+\|A\|$
задают норму в $Y$?

Неверно. И дело даже не в том, что во второй строчке икс явно потерян. Дело гораздо хуже: там вообще никаких признаков игреков не наблюдается, а стал быть -- утверждения откровенно бессмысленны. Скорректируйте, плиз.

[G_Ray]

Норму в $X$ конечно же.

-- Ср фев 24, 2010 02:35:24 --

И конечно же, икс пропущен во втором случае.
Вроде в обоих случаях равенства задают норму.

[ewert]

Во втором -- очевидно. В первом -- очевидно нет (оператор ведь может иметь и ненулевое ядро). И, кстати, во избежание недоразумений неплохо бы проявлять аккуратность в обозначениях слева, типа: $\|\cdot\|_{\text{ну немножко так новенькая}}$.

[G_Ray]

Спасибо. Учту все замечания.

[AGu]

ewert в сообщении #291640 писал(а):

Есть стандартное заклинание: непрерывность отображения означает, что прообраз замкнутого множества замкнут. Образ прямого отображения -- это прообраз всего пространства (которое замкнуто) для обратного отображения -- и, следовательно, замкнут.

... в образе прямого отображения.

ewert в сообщении #291640 писал(а):

Но это глупо.

Можно слегка сумничать, заметив, что полнота одного из изометричных пространств влечет полноту другого и что полное пространство замкнуто в чем угодно.