Собственные функции и значения оператора смещения.

[ARMICRON]

Нужно найти собственные функции и значения оператора смещения.
$\hat{\mathbf{T_a}}:\psi(x)\equiv\psi(x+a)$
$\hat{\mathbf{T_a}}=\exp(a\frac{d}{dx})$
Для нахождения собственных функций и значений, нужно решить спектральное уравнение:
$\hat{\mathbf{T_a}}\psi(x)=\lambda\psi(x)$
$\exp(a\frac{d}{dx})\psi(x)=\lambda\psi(x)$
$\exp(a\frac{d}{dx})exp(\ln(\psi(x)))=\lambda\psi(x)$
$\exp(a\frac{d}{dx}+\ln(\psi(x)))=\lambda\psi(x)$
Логарифмируем:
$a\frac{d}{dx} + \ln(\psi(x))=\ln(\lambda)+\ln(\psi(x))$
Получился какой-то бред...

[ewert]

Это -- унитарный оператор, поэтому его спектр лежит на единичной окружности. Чтобы $\lambda=e^{i\theta}$ было собственным числом, а $u(x)$ -- соотв. собственной функцией, надо, чтобы выполнялось тождество: $u(x+a)\equiv e^{i\theta}\cdot u(x)$. Это означает,что $u(x)=v(x)\cdot e^{i\theta x/a}$, где $v(x+a\equiv v(x)$ -- произвольная $a$-периодическая функция. Т.е. спектр чисто непрерывен, заполняет всю единичную окружность и имеет бесконечную кратность. А собственных чисел и собственных функций в точном смысле у него просто нет.