Насчёт всех нормальных чисел не знаю (не уверен, что для всех), но легко доказать, что мера
равна 1. Поскольку
при
, то можно
заменить на
. Далее, удобно рассмотреть немного другой ряд. А именно, если обозначить
, то сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда
(преобразование Абеля). Рассматривая
как независимые в совокупности случайные величины, по неравенству Чернова (см., например,
этот пост), получаем, что при всех
справедиво неравенство
. Поскольку
, то, по лемме Бореля-Кантелли (по её тривиальной половине), для почти всех
справедлива оценка
, откуда получаем требуемое.