Насчёт всех нормальных чисел не знаю (не уверен, что для всех), но легко доказать, что мера
![$M$ $M$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb97d38bcc19230b0acd442e17db879c82.png)
равна 1. Поскольку
![$p_n=n\log n\left(1+O\left(\frac{\log\log n}{\log n}\right)\right)$ $p_n=n\log n\left(1+O\left(\frac{\log\log n}{\log n}\right)\right)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/e/60e6fb230d933eb1b4129cb0aec1e40e82.png)
при
![$n\to\infty$ $n\to\infty$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/3/6c36031acca07a801eb81a809102fc9282.png)
, то можно
![$p_n$ $p_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/a/dcacd0c2df330290b04661ab76e2a62c82.png)
заменить на
![$n\log(n+1)$ $n\log(n+1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/6/ed61e48aaffb66bb499902c14df6367582.png)
. Далее, удобно рассмотреть немного другой ряд. А именно, если обозначить
![$B(n)=\sum_{k=1}^nb_k$ $B(n)=\sum_{k=1}^nb_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/5/285e92fb838a3349c52163816a0616c682.png)
, то сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости ряда
![$\sum_{n=1}^\infty\frac{B(n)}{n^2\log(n+1)}$ $\sum_{n=1}^\infty\frac{B(n)}{n^2\log(n+1)}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/3/763a5e1afd42c56beb6bf221d0558c1482.png)
(преобразование Абеля). Рассматривая
![$b_n$ $b_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935aab151b542081e51a21ca914e3be682.png)
как независимые в совокупности случайные величины, по неравенству Чернова (см., например,
этот пост), получаем, что при всех
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
справедиво неравенство
![$\mu\{x\in[0;1):|B(n)|\ge2\sqrt{n\log n}\,\}<2n^{-4/3}$ $\mu\{x\in[0;1):|B(n)|\ge2\sqrt{n\log n}\,\}<2n^{-4/3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/9/bf9732593acfc42baaca7d5c83d6cfb082.png)
. Поскольку
![$\sum_{n=1}^\infty n^{-4/3}<\infty$ $\sum_{n=1}^\infty n^{-4/3}<\infty$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190e693f4e680befbfb54fc684a1de9682.png)
, то, по лемме Бореля-Кантелли (по её тривиальной половине), для почти всех
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
справедлива оценка
![$B(n)=O\bigl(\sqrt{n\log(n+1)}\,\bigr)$ $B(n)=O\bigl(\sqrt{n\log(n+1)}\,\bigr)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd1c6e193fa70a2fc92925fd5e233d4382.png)
, откуда получаем требуемое.