Математическая логика

[caxap]

Здавствуйте. Решил немного почитать учебники по мат. логике, чтобы хотя бы немного ориентироваться в ней. И есть несколько вопросов:

1. Я начал читать учебник Колмогорова "Введение в мат. логику". Не устарел ли он?

2. На форуме есть темы, что система аксиом ZFC противоречива (я пока плохо понимаю что это, но думаю это значит, что в ней можно доказать две противоположные теоремы $A$ и $\neg A$). Это правда? Я понимаю мат. логику как основу современной математики, а как может быть основой противоречивая теория (даже если на практике эта противоречивость не проявляется, в смысле эта протвиоречивость лежит глубоко и можно ее считать "почти" непротиворечивой)). Прошу отвечать только Заслуженным Участникам, мнения альтов я уже читал на этом форуме.

3. Есть ли какие нибудь "практические" применения теории множеств и мат. логики? В том смысле, как например в теории вероятностей? (Я на википедии смотрел про какие-то "категории" --- мегаабстрактная вещь, которая вообще похоже никакого практического смысла не несёт. Надеюсь теория множеств не такая же. Не вижу смысла изучать "игрушку для математиков".)

4. Что такое "наивная" теория множеств. Почему такое название? Я понял как наивная теория противоречива --- там есть парадокс Рассела, который можно разрешить введением "классов" --- т. е. "надстройкой" над множествами, но классы не могут быть элементами множеств (и классов). Т. е. "множество" всех множеств --- это класс. Так? если нет, наведите на путь истинный пожалуйста.

Спасибо. Альтов прошу не отвечать на эту тему, пожалуйста.

[Xaositect]

caxap в сообщении #290746 писал(а):

1. Я начал читать учебник Колмогорова "Введение в мат. логику". Не устарел ли он?

Хороший учебник. Классическую мат.логику можно хоть по Черчу и Клини учить.

caxap в сообщении #290746 писал(а):

2. На форуме есть темы, что система аксиом ZFC противоречива (я пока плохо понимаю что это, но думаю это значит, что в ней можно доказать две противоположные теоремы и ). Это правда? Я понимаю мат. логику как основу современной математики, а как может быть основой противоречивая теория (даже если на практике эта противоречивость не проявляется, в смысле эта протвиоречивость лежит глубоко и можно ее считать "почти" непротиворечивой)). Прошу отвечать только Заслуженным Участникам, мнения альтов я уже читал на этом форуме.

Нет. Есть стандартное опасение, что раз наивная ТМ противоречива, то и в ZFC, может быть, противоречия тоже есть. Но это вряд ли.

caxap в сообщении #290746 писал(а):

3. Есть ли какие нибудь "практические" применения теории множеств и мат. логики? В том смысле, как например в теории вероятностей? (Я на википедии смотрел про какие-то "категории" --- мегаабстрактная вещь, которая вообще похоже никакого практического смысла не несёт. Надеюсь теория множеств не такая же. Не вижу смысла изучать "игрушку для математиков".)

Автоматическое доказательство, верификация программ, логическое программирование.
Еще надо выделить теорию вычислимости - это самостоятельная большая область математики, тесно связанная с логикой.

Теория категорий, кстати, тоже активно применяется в некоторых областях Computer Science.

caxap в сообщении #290746 писал(а):

4. Что такое "наивная" теория множеств. Почему такое название? Я понял как наивная теория противоречива --- там есть парадокс Рассела, который можно разрешить введением "классов" --- т. е. "надстройкой" над множествами, но классы не могут быть элементами множеств (и классов). Т. е. "множество" всех множеств --- это класс. Так? если нет, наведите на путь истинный пожалуйста.

Да, примерно так. Все известные парадоксы наивной ТМ связаны с построением "слишком больших" множеств.
В наивной ТМ, если задать абсолютно любое свойство, то можно построить множество всех объектов, обладающим этим свойством. Этот принцип достаточно естественен, но его неограниченное применение ведет к парадоксам.

[caxap]

Xaositect
Спасибо большое Успокоили...

[Padawan]

caxap
Теория категория не столько мегаабстрактная, сколько полезная. 100 лет назад теория множеств казалась такой же мегаабстрактной.

Я понял какая отличная вещь теория категорий, когда прочитал общее определения суммы и произведения объектов, во что они превращаются в конкретных категориях, и что сумма от произведения отличается всего лишь обращением стрелок. Вот тогда я стал изучать теорию категорий. Только для неё определённый математический кругозор нужен.