Paataто, что из
абсолютной сходимости ряда
![$\sum f''(n+\gamma_n)$ $\sum f''(n+\gamma_n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/4/6248291738d10bfe4c9a686f7de208a382.png)
вытекает сходимость интеграла
![$\int |f''(x)|\,dx$ $\int |f''(x)|\,dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/a/b3ad0903e87e0d1808353633f73281d782.png)
следует из первой теоремы о среднем
![$\int\limits_n^{n+1}|f''(x)}|\,dx=|f''(n+\gamma_n)|$ $\int\limits_n^{n+1}|f''(x)}|\,dx=|f''(n+\gamma_n)|$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/3/a13381a6c9c2a3d8f632967df23a310882.png)
, если функция непрерывная. Поэтому, если применима теорема
terminator-II'а (если только вместо сходимости потребовать абсолютную сходимость), то применима и Ваша теорема.
Кстати, так как из сходимости интеграла
![$\int |f'(x)|\, dx$ $\int |f'(x)|\, dx$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/4/be4a4d182cce99be0b3d778006d7712982.png)
в Вашей теореме следует существование предела
![$\displaysrile\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ $\displaysrile\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/7/6571f94f0e885bc066fb83b68d856a9f82.png)
который в случае сходимости ряда
![$\sum f(n)$ $\sum f(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/f/22fe197514618edc47b8a05d8cc7b77582.png)
может быть только нулём, то из существования предела
![$\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_a^n f(x)\, dx$ $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_a^n f(x)\, dx$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/9/d39b0c81ae51ff29bd3df58f5fb8536d82.png)
следует сходимость интеграла
![$\int\limits_a^{+\infty} f(x)\, dx$ $\int\limits_a^{+\infty} f(x)\, dx$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/5/8359126701a76cf9d5e9f8ee1331da8482.png)
. Так что Ваша теорема в обе стороны правильная.
terminator-IIА как эта задача из Садовничего доказывается? Поди так, как
ewert говорит? Может там надо все-таки абсолютную сходимость ряда потребовать?