Paataто, что из
абсолютной сходимости ряда

вытекает сходимость интеграла

следует из первой теоремы о среднем

, если функция непрерывная. Поэтому, если применима теорема
terminator-II'а (если только вместо сходимости потребовать абсолютную сходимость), то применима и Ваша теорема.
Кстати, так как из сходимости интеграла

в Вашей теореме следует существование предела

который в случае сходимости ряда

может быть только нулём, то из существования предела

следует сходимость интеграла

. Так что Ваша теорема в обе стороны правильная.
terminator-IIА как эта задача из Садовничего доказывается? Поди так, как
ewert говорит? Может там надо все-таки абсолютную сходимость ряда потребовать?