сходится ли ряд Sum cos(ln n)/(n ln n)?

[Padawan]

Paata в сообщении #290379 писал(а):

GAA и там перестарались с рещением тех задач и тут перестарались .


Вобщем я понял, как легко можно решать такие задачи .
Теорема
Пусть $f \in C^{1} ([a,\infty))$ и $\int_{a}^{\infty} |f'(x)|dx < \infty$
Тогда сходимость ряда $\sum_{k = [a]}^{\infty} f(k)$ равносильна сходимости интеграла $\int_{a}^{\infty} f(x)dx$.

просто надо написать что $\alpha(n) = f(n) - \int_{n}^{n+1}f(x)dx = \int_{n}^{n+1}(f(n) - f(x))dx$

ну теперь заметим что $\sum \alpha(n)$ абсолютно сходится.

(еще заметим что достаточно требовать от функции чтобы имела ограниченую вариацию на промежутке $([а],\infty)$)


понятно что также и в моем случае условия теоремы выполняются ($|f'| \approx \frac{C}{x^{2}\ln x}$) . Итого задача очевидная

Paata
Классная теорема! Обобщение интегрального признака Коши-Маклорена. Почему я нигде её не видел? Вы сами придумали? Только условие сходимости интеграла надо заменить условием существования предела $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{a}^n f(x)\, dx$, если функция $f(x)$ не является знакопостоянной это не одно и то же.

[Paata]

Вначале мне дали задачу, про решение которой я не думал, но мне сказали что непонятно как его решать. Мне было интересно узнать что думают люди с этого форума, "так или иначе" было предложено два варианта решении этой задачи, про блоки, и почемуто сравнивать с интегралом.
(у меня была еще одна идея думать про меру иррациональности числа Пи и про меру иррациональности чисел $\ln k $ и думать как одни числа приближают другие и насколько хорошо, но думать об этом было не очень хорошо ).
Про интегральный признак я в начале тоже думал, но я не мог понять "что действительно тут происходит", т.е. хотел понять когда так можно делать и когда нет и как описать класс таких функции, понял что они не должны сильно меняется (осциллировать) ну дальше уже пошли технические рассуждения.

[Padawan]

Поздравляю!

[Paata]

чтото я уже запутался. Если функция $f(x)$ определена на $[a,\infty)$ и интегрируема на любом отрезке из этой полуоси, тагда под сходимости интеграла $\int_{a}^{\infty} f(x)dx$ мне всегда козалось что подразумывается сушествование и конечность такого предела $\lim_{x \to \infty}\int_{a}^{x}f(z)dz$
я на первои же сылке в гуугле посмотрел и еще раз убедился
http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s ... t.htm#s101
я просто не понимаю причем тут знак функции ?

[Padawan]

Но у нас же $n$ принимает только натуральные значения, а не любые действительные. А если функция знакопостоянна, то сходимость интеграла равносильна ограниченности частичных интегралов.

[terminator-II]

в задачнике Виноградовой Олехник Садовничиго доказано следующее.

Если $f(n)$ имеет конечный предел при $n\to \infty$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty f''(n+\gamma_n)$ сходится при любом выборе $\gamma_n\in (0,1)$ то ряд $$\sum_{n=1}^\infty f'(n)$ сходится

[Padawan]

terminator-II
Поясните, пожалуйста, как Ваше замечание соотносится с обсуждаемым.

[terminator-II]

$$ f'(n)= \frac{\cos \ln n}{n \ln n } $$

[Paata]

так как есть две теоремы нужно понять какая из них лучше.
я думая что та которую я сформулировал потому что. из сходимости моего $\int |f''(x)|$ интеграла не обязательно следует сходимость того ряда которого написал terminator-II
просто на интервалах нужно взять функцию которая принимает большие значения но площадь которой достаточно маленький. (что-то типа иголок).
в другую сторону менее очевидно так как если рассматривать кусочно постоянные функции (принимала значения плюс или минус 1 в соответствующих интервалов ) то из сходимости ряда $\sum f''(n+\gamma_{n})$ не следует сходимость интеграла. тут важную роль играет тот факт что функция непрерывна, поэтому мне кажется что из сходимости ряда при всех последовательностей $\gamma_{n}$ следует сходимость интеграла, хотя не могу придумать простого объяснения этого факта.

[ewert]

Для того, чтобы сходимость интеграла была эквивалентна сходимости ряда, достаточно абсолютной суммируемости второй производной. Причина -- остаточный член формулы центральных прямоугольников в интегральной форме. (Суммирумости первой производной, конечно, тоже достаточно, стоит лишь задействовать более грубую формулу прямоугольников.)

Paata в сообщении #290616 писал(а):

тут важную роль играет тот факт что функция непрерывна, поэтому мне кажется что из сходимости ряда при всех последовательностей $\gamma_{n}$ следует сходимость интеграла, хотя не могу придумать простого объяснения этого факта.

Просто теорема о среднем: на каждом кусочке интеграл равен значению функции в некоторой промежуточной точке. Т.е. если бы расходился интеграл, то расходился бы и ряд для некоторой последовательности гамм.

[Padawan]

Paata
то, что из абсолютной сходимости ряда $\sum f''(n+\gamma_n)$ вытекает сходимость интеграла $\int |f''(x)|\,dx$ следует из первой теоремы о среднем $\int\limits_n^{n+1}|f''(x)}|\,dx=|f''(n+\gamma_n)|$, если функция непрерывная. Поэтому, если применима теорема terminator-II'а (если только вместо сходимости потребовать абсолютную сходимость), то применима и Ваша теорема.


Кстати, так как из сходимости интеграла $\int |f'(x)|\, dx$ в Вашей теореме следует существование предела $\displaysrile\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ который в случае сходимости ряда $\sum f(n)$ может быть только нулём, то из существования предела $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_a^n f(x)\, dx$ следует сходимость интеграла $\int\limits_a^{+\infty} f(x)\, dx$. Так что Ваша теорема в обе стороны правильная.

terminator-II
А как эта задача из Садовничего доказывается? Поди так, как ewert говорит? Может там надо все-таки абсолютную сходимость ряда потребовать?

[ewert]

$${f'(0)+f'(n)\over2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f'_k=\int\limits_0^nf'(x)\,dx-{1\over12}\sum\limits_{k=1}^{n}f''(c_n)$$

(формула трапеций). Из существования предела $f(n)$ следует сходимость полученной последовательности интегралов, а сходимость последнего ряда задана в условии. Осталось только заметить, что $f'(n)$ стремится к нулю, поскольку сходится $\int\limits_{0}^{+\infty}f''(x)\,dx$.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #290660 писал(а):

terminator-II
А как эта задача из Садовничего доказывается? Поди так, как ewert говорит? Может там надо все-таки абсолютную сходимость ряда потребовать?

нет абсолютная сходимость не нужна, просто
суммируем по n формулу Тейлора:
$f(n+1)-f(n)=f'(n)+f''(n+\gamma_n)$

[Paata]

ewert
спасибо за ваше желание мне помоч, но то что вы говорите это я понимаю. или может быть я не совсем понятно сказал что я немогу легко решить. поэтому я еще раз сформулирую:
пусть функция $g(x)$ непрерывна $\in C([0,\infty))$.
допустим ряд $\sum g(n+\gamma_{n})$ сходится для всех последовательностей $\gamma_{n}$ на интервале $(0,1)$ тогда следут ли сходимость такого интеграла $\int_{0}^{\infty} |g(x)| dx$ ?
если бы ряд сходился бы абсолютно тогда тут нечего доказывать, все очевидно (смотрите последний пост Padawanб б или то что вы писали после моего поста ).
но я не сказал что он сходится абсолютно поэтому предложения про теорему о среднем, либо прямоуголники отпадают.

[ewert]

Естественно, из условной сходимости ряда следует лишь условная сходимость интеграла, но никак не абсолютная.