По этой теме Форума KSergP спросил:
"Подскажите как решать проблему собственных значений при несимметричной и комплексной матрице (Non-Hermitian Eigen Problem) ... "
В одном из ответов приведена ссылка на
Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ, Линейная алгебра, авт. Уилкинсон и Райнш, Москва, "Машиностроение", 1976.
Там начиная со стр. 327 описан Алгоритм ІІ.15 (
LR и QR-алгоритмы для вычисления собственных векторов действительных и комплексных матриц)
KSergP в обсуждении далее задает вопрос:
"...а там именно звучит слово комплексная матрица?"
и мне кажется выражает свое сомнение в том, что вопросные алгоритмы могут успешно применяться к комплексным матрицам.
1. В самом заголовке этого раздела, отведенном LR и QR-алгоритмам, ясно определено, что эти алгоритмы --- для вычисления собственных векторов и комплексных, а не только действительных матриц.
2. Далее, авторы предлагают:
2.1. сначала
комплексную матрицу масштабировать при помощью
комплексного варианта их процедуры
balance (Алгоритм ІІ.11).
2.2. затем равновесную уже матрицу преобразовать к верхней форме Хесенберга, т.е.
если
при помощи алгоритма
comhes, приведенном в разделе Алгоритм ІІ.13 того же справочника (начиная со стр. 298). И здесь авторы подчеркивают, что это вариант алгоритма для произвольной
комплексной матрицы.
2.3. использовать алгоритм
comlr2 для нахождения
всех собственных значений и собственных векторов
комплексной матрицы, приведенной уже к форме Хесенберга (см. пункт 2.2). Или же в том случае, когда необходимо определить только
отдельные собственные векторы, использовать более эффективные: алгоритм
comlr (алгоритм ІІ.16) и
cxinvit (алгоритм ІІ.18) из того же справочника.
2.4. восстановить собственные векторы исходной матрицы с применением
комплексного аналога процедуры
balbak ( Алгоритм ІІ.11), т.е. "расмасштабировать".
Так что по моему не остается место для сомнений, что описанная методика атакует, как утверждают авторы, решение полной проблемы собственных значений и векторов для произвольной, в том числе и для произвольной
комплексной, матрицы.
Всюду в упомянутых разделах справочника уделено большое внимание уменьшению объема вычислений и устойчивости методов.
