eigenvalue-eigenvector

[KSergP]

Подскажите как решать проблему собственных значений при несимметричной и комплексной матрице (Non-Hermitian Eigen Problem) A*x=lamda*x-?
В обобщенной проблеме (General Non-Hermitian Eigen Problem) A*x=lamda*B*x
что из себя представляет матрица B-?

[Vassil]

В Справочнике алгоритмов на языке АЛГОЛ, Линейная алгебра, авт. Уилкинсон и Райнш, Москва, "Машиностроение", 1976, на стр. 327 можно увидеть, что

"...Такая методика ... обеспечила наиболее эффективную программу решения полной проблемы собственных значений для произвольной матрицы."

У меня сформировалось впечатление, что описанные в этой главе LR и QR-алгоритмы для вычисления собственных векторов действительных и комплексных матриц, а так же в следующей главе - соответствующая модификация, могут быть использованы как общий подход.

[photon]

See help for MatLAB

[maxal]

Вот тут уже обсуждали:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2133

[KSergP]

maxal писал(а):

Вот тут уже обсуждали:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=2133

уважаемый maxal там обсуждался вопрос для решения Эрмитовой проблемы.... а я поднимал вопрос для Non-Hermitian т.е. для не эрмитовой проблемы

[KSergP]

Vassil писал(а):

У меня сформировалось впечатление, что описанные в этой главе LR и QR-алгоритмы для вычисления собственных векторов действительных и комплексных матриц, а так же в следующей главе - соответствующая модификация, могут быть использованы как общий подход.

а там именно звучит слово комплексная матрица?

[KSergP]

photon писал(а):

See help for MatLAB

подскажите какой там алгоритм упоминается для поставленной здесь задачи?

[Yuri Gendelman]

KSergP писал(а):

а там именно звучит слово комплексная матрица?

"Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ: Линейная алгебра. М., "Машиностроение", 1976.
Алгоритм II.17. стр.355-366. Решение проблемы собственных значений по методу Якоби с понижением нормы для комплексных матриц."

Такая ссылка устроит?

Кстати, авторы книги (а Уилкинсон - это голова!) утверждают, что даже для действительных матриц общего вида "эта процедура эффективнее действительной. Действительная процедура предпочтительнее комплексной только для действительных матриц с действительными с.з."

[ГАЗ-67]

А Уилкинсон и Райнш - две головы .

[KSergP]

ну насколько мне известно метод Якоби является не самым лучшим методом решения полной проблемы собственных значений...
встречался в литературе с упоминанием об использовании QR алгоритма
предварительно приведя исходную матрицу к форме Хессенберга, но тогда получается, что необходимо как-то модифицировать стандартный QR применяемый для вещественого случая

[Vassil]

По этой теме Форума KSergP спросил:

"Подскажите как решать проблему собственных значений при несимметричной и комплексной матрице (Non-Hermitian Eigen Problem) ... "

В одном из ответов приведена ссылка на Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ, Линейная алгебра, авт. Уилкинсон и Райнш, Москва, "Машиностроение", 1976.

Там начиная со стр. 327 описан Алгоритм ІІ.15 (LR и QR-алгоритмы для вычисления собственных векторов действительных и комплексных матриц)

KSergP в обсуждении далее задает вопрос:
"...а там именно звучит слово комплексная матрица?"
и мне кажется выражает свое сомнение в том, что вопросные алгоритмы могут успешно применяться к комплексным матрицам.

1. В самом заголовке этого раздела, отведенном LR и QR-алгоритмам, ясно определено, что эти алгоритмы --- для вычисления собственных векторов и комплексных, а не только действительных матриц.

2. Далее, авторы предлагают:

2.1. сначала комплексную матрицу масштабировать при помощью комплексного варианта их процедуры balance (Алгоритм ІІ.11).

2.2. затем равновесную уже матрицу преобразовать к верхней форме Хесенберга, т.е. \bf{h_{i\,j}=0} , если \bf{ i>j +1} при помощи алгоритма comhes, приведенном в разделе Алгоритм ІІ.13 того же справочника (начиная со стр. 298). И здесь авторы подчеркивают, что это вариант алгоритма для произвольной комплексной матрицы.

2.3. использовать алгоритм comlr2 для нахождения всех собственных значений и собственных векторов комплексной матрицы, приведенной уже к форме Хесенберга (см. пункт 2.2). Или же в том случае, когда необходимо определить только отдельные собственные векторы, использовать более эффективные: алгоритм comlr (алгоритм ІІ.16) и cxinvit (алгоритм ІІ.18) из того же справочника.

2.4. восстановить собственные векторы исходной матрицы с применением комплексного аналога процедуры balbak ( Алгоритм ІІ.11), т.е. "расмасштабировать".

Так что по моему не остается место для сомнений, что описанная методика атакует, как утверждают авторы, решение полной проблемы собственных значений и векторов для произвольной, в том числе и для произвольной комплексной, матрицы.

Всюду в упомянутых разделах справочника уделено большое внимание уменьшению объема вычислений и устойчивости методов.