помогите найти n-ю производную на области определения:

[talian2012]

f(x)=$e^{ax}\sin(bx+c)$

[ИСН]

Есть такая штука - комплексная экспонента...

[talian2012]

можно подробнее пожалуста.

[ИСН]

Вы владеете тайным знанием, чему равно $e^{ix}$ (да, это мнимая единица там сверху)?

[talian2012]

$\cos(x)+i\sin(x)$
так ведь???

[ИСН]

Да. Теперь примените его в обратную сторону: синус - это что?

[talian2012]

$$\sin(x)=\frac {e^{ix}-\cos(x)} {i}$$

[ИСН]

Хорошо, но надо как-нибудь без косинуса. Зато можно использовать $e^{-ix}$

[talian2012]

не хочу показаться тупым, но чето я ничего не понял: косинус выразить через синус(тригонометр. 1) появлятся корни, или што???

[ИСН]

Не то. Надо выразить синус через комплексные экспоненты (такую и с минусом). Косинуса вообще не надо.

[talian2012]

$$sin(x)=\frac {e^{ix}-e^{-ix}} {2i}$$

Огромное спасибо!
можете посмотреть правильно ли:

$$f^{(n)}(x)=\frac {(a+ib)^ne^{x(a+ib)+ic}-(a-ib)^ne^{x(a-ib)-ic}} {2i}$$

это же правильно?

[ShMaxG]

Да, а еще можно и так:

$\[{f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \operatorname{Im} \left[ {{{\left( {a + ib} \right)}^n}{e^{x\left( {a + ib} \right) + ic}}} \right] = {e^{ax}}\left[ {\cos \left( {bx + c} \right)\operatorname{Im} {{\left( {a + ib} \right)}^n} + \sin \left( {bx + c} \right)\operatorname{Re} {{\left( {a + ib} \right)}^n}} \right]\]$

Далее, от мнимой единицы предлагаю избавиться самостоятельно (т.е. можно записать выражение, не содержащее мнимую единицу, причем очень классное). Если что - спрашивайте.