2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение10.08.2006, 02:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Руст писал(а):
Для любого семейства кривых удовлетворяющих одному и тому же дифференциальному уравнению $r^{(k)}=f(r,r',r'',...)$ можно считать, что $$\int_{r_0}^{r_1}(r^{(k)}(t)-f(r,r',r'',...))^2dt \to \min $$

А можно поподробнее для данного случая?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2006, 08:19 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Надо вычислить дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они и поставить в это выражение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.08.2006, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Руст писал(а):
Надо вычислить дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они и поставить в это выражение.

Никак не могу найти дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они !!!!
Может, кто знает!!???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.08.2006, 09:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Дело в том, что они зависят ещё от парамаетра. Когда скорость равномерная $r'r''=0$, т.е ускорение перпендикулярно скорости (для натурального параметра, когда |r'|=const).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Руст писал(а):
Дело в том, что они зависят ещё от парамаетра. Когда скорость равномерная $r'r''=0$, т.е ускорение перпендикулярно скорости (для натурального параметра, когда |r'|=const).

Ну и как же эти уравнения выглядят, пусть с параметром?...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 11:02 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
PSP писал(а):
Ну и как же эти уравнения выглядят, пусть с параметром?...

Одного ДУ у Вас не получится. Да и зачем Вам ДУ, которые дают винтовые линии, если они (ДУ) не определены однозначно (существует бесконечное число вариантов)? Вот, например, в цилиндрических координатах в параметрической форме
$$\frac{\partial r}{\partial t}=0$$, $$\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=0$$, $$\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0$$.
Дописал 3-е уравнение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 13:49 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Я ведь уже написал одним уравнением $0=r'r''=x'x''+y'y''+z'z''$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 16:57 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Руст писал(а):
Я ведь уже написал одним уравнением $0=r'r''=x'x''+y'y''+z'z''$.

Извините, я в начале не очень понял Ваши обозначения $r$ и $r'$. Теперь вижу, что $r$ у Вас это вектор $\vec{r}=(x,y,z)$... Но я все же еще не очень понял почему уравнение
$$
\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=const
$$
гарантирует винтовую траекторию. Мне кажется, что существует бесконечно много траекторий движения, например, по сфере с постоянной скоростью, которые, очевидно, не сводятся к винтовым линиям и удовлетворяют Вашему уравнению. Хотя, возможно, я просто не уловил Вашу идею.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Одного ДУ у Вас не получится.

Ваша система эквивалентна $(\frac{\partial r}{\partial t})^2 + (\frac{\partial^2 z}{\partial t^2})^2 + (\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2})^2 = 0$. Что формально Вас опровергает, но не вностит ничего нового (все сделали Вы).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 17:27 
Заслуженный участник


31/12/05
1517
PSP писал(а):
Никак не могу найти дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они !!!!
Цилиндрические винтовые линии описываются системой двух уравнений: $k = C_1, \tau = C_2$. Естественно, для каждой пары $C_1$ и $C_2$ линия определяется однозначно с точностью до движения, поэтому, кроме стандартной параметризации, ничего принципиально нового на этом пути не получится.

Общее определение винтовой линии я видел в упражнениях в do Carmo - все касательные образуют заданный угол с заданной прямой. Если кручение нигде не обращается в ноль, это равносильно одному уравнению: $k/\tau = C$.

Можно подставить сюда формулы для кривизны и кручения:
$$k = \frac{|r'\times r''|}{|r'|^3}$$
$$\tau = -\frac{r'\times r''\cdot r'''}{|r'\times r''|^2}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 17:30 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
незваный гость писал(а):
Что формально Вас опровергает, но не вностит ничего нового (все сделали Вы).


Возможно, я не очень ясно изложил свою мысль. Вообще-то я не утверждал что Руст был не прав в том что винтовые линии удовлетворяют уравнению $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$. Я привел контрпример (движение по сфере), который показывает, что просто записи $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$ недостаточно в общем случае. Где тут опровержение? Грубо говоря, моя мысль была в том, что уравнение Руста это, вероятно, необходимое условие на винтовую линию, но не достаточное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 17:59 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Если движение по сфере, то на самом деле это движение по окружности, частный случай винтового движения, когда скорость в направлении, перпендикулярной векторному произведению r' * r'' равна нулю. Это уравнение включает так же движение по прямой, как случай вырожденной винтовой линии. Уравнение достаточное и включает все равномерные движения по винтовой линии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Где тут опровержение?

Вы утверждали, что одного уравнения не получится, а я, используя Вашу систему уравнений, сделал из трех уравнений одно. Чисто формально одно — по существу, Ваши уравнения остались как есть.

Ох уж этот формализм математиков :D! Их высказывания верны, и никому не нужны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 18:21 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Любую траекторию на сфере можно параметризовать по длине дуги так, что $$\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}=1$$. Следовательно, для любой траектории на сфере такой, что существует $\ddot{\vec{r}}$, существует параметризация при которой выполняется равество $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.08.2006, 18:26 
Заслуженный участник


09/02/06
4397
Москва
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Любую траекторию на сфере можно параметризовать по длине дуги так, что $$\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}=1$$. Следовательно, для любой траектории на сфере такой, что существует $\ddot{\vec{r}}$, существует параметризация при которой выполняется равество $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$

У вас вектор равен числу (1), как это понимать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group