Дифференциальная геометрия

[PSP]

Руст писал(а):

Для любого семейства кривых удовлетворяющих одному и тому же дифференциальному уравнению $r^{(k)}=f(r,r',r'',...)$ можно считать, что

$$\int_{r_0}^{r_1}(r^{(k)}(t)-f(r,r',r'',...))^2dt \to \min $$

А можно поподробнее для данного случая?

[Руст]

Надо вычислить дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они и поставить в это выражение.

[PSP]

Руст писал(а):

Надо вычислить дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они и поставить в это выражение.

Никак не могу найти дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они !!!!
Может, кто знает!!???

[Руст]

Дело в том, что они зависят ещё от парамаетра. Когда скорость равномерная $r'r''=0$, т.е ускорение перпендикулярно скорости (для натурального параметра, когда |r'|=const).

[PSP]

Руст писал(а):

Дело в том, что они зависят ещё от парамаетра. Когда скорость равномерная $r'r''=0$, т.е ускорение перпендикулярно скорости (для натурального параметра, когда |r'|=const).

Ну и как же эти уравнения выглядят, пусть с параметром?...

[Аурелиано Буэндиа]

PSP писал(а):

Ну и как же эти уравнения выглядят, пусть с параметром?...

Одного ДУ у Вас не получится. Да и зачем Вам ДУ, которые дают винтовые линии, если они (ДУ) не определены однозначно (существует бесконечное число вариантов)? Вот, например, в цилиндрических координатах в параметрической форме

$$\frac{\partial r}{\partial t}=0$$

,

$$\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=0$$

,

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0$$

.
Дописал 3-е уравнение.

[Руст]

Я ведь уже написал одним уравнением $0=r'r''=x'x''+y'y''+z'z''$.

[Аурелиано Буэндиа]

Руст писал(а):

Я ведь уже написал одним уравнением $0=r'r''=x'x''+y'y''+z'z''$.

Извините, я в начале не очень понял Ваши обозначения $r$ и $r'$. Теперь вижу, что $r$ у Вас это вектор $\vec{r}=(x,y,z)$... Но я все же еще не очень понял почему уравнение

$$ \dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=const $$

гарантирует винтовую траекторию. Мне кажется, что существует бесконечно много траекторий движения, например, по сфере с постоянной скоростью, которые, очевидно, не сводятся к винтовым линиям и удовлетворяют Вашему уравнению. Хотя, возможно, я просто не уловил Вашу идею.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Одного ДУ у Вас не получится.

Ваша система эквивалентна $(\frac{\partial r}{\partial t})^2 + (\frac{\partial^2 z}{\partial t^2})^2 + (\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2})^2 = 0$. Что формально Вас опровергает, но не вностит ничего нового (все сделали Вы).

[tolstopuz]

PSP писал(а):

Никак не могу найти дифференциальное уравнение, решением которого являются все винтовые линии и только они !!!!

Цилиндрические винтовые линии описываются системой двух уравнений: $k = C_1, \tau = C_2$. Естественно, для каждой пары $C_1$ и $C_2$ линия определяется однозначно с точностью до движения, поэтому, кроме стандартной параметризации, ничего принципиально нового на этом пути не получится.

Общее определение винтовой линии я видел в упражнениях в do Carmo - все касательные образуют заданный угол с заданной прямой. Если кручение нигде не обращается в ноль, это равносильно одному уравнению: $k/\tau = C$.

Можно подставить сюда формулы для кривизны и кручения:

$$k = \frac{|r'\times r''|}{|r'|^3}$$

$$\tau = -\frac{r'\times r''\cdot r'''}{|r'\times r''|^2}$$

[Аурелиано Буэндиа]

незваный гость писал(а):

Что формально Вас опровергает, но не вностит ничего нового (все сделали Вы).

Возможно, я не очень ясно изложил свою мысль. Вообще-то я не утверждал что Руст был не прав в том что винтовые линии удовлетворяют уравнению $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$. Я привел контрпример (движение по сфере), который показывает, что просто записи $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$ недостаточно в общем случае. Где тут опровержение? Грубо говоря, моя мысль была в том, что уравнение Руста это, вероятно, необходимое условие на винтовую линию, но не достаточное.

[Руст]

Если движение по сфере, то на самом деле это движение по окружности, частный случай винтового движения, когда скорость в направлении, перпендикулярной векторному произведению r' * r'' равна нулю. Это уравнение включает так же движение по прямой, как случай вырожденной винтовой линии. Уравнение достаточное и включает все равномерные движения по винтовой линии.

[незваный гость]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Где тут опровержение?

Вы утверждали, что одного уравнения не получится, а я, используя Вашу систему уравнений, сделал из трех уравнений одно. Чисто формально одно — по существу, Ваши уравнения остались как есть.

Ох уж этот формализм математиков ! Их высказывания верны, и никому не нужны.

[Аурелиано Буэндиа]

Любую траекторию на сфере можно параметризовать по длине дуги так, что

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}=1$$

. Следовательно, для любой траектории на сфере такой, что существует $\ddot{\vec{r}}$, существует параметризация при которой выполняется равество $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$

[Руст]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Любую траекторию на сфере можно параметризовать по длине дуги так, что

$$\frac{\partial \vec{r}}{\partial s}=1$$

. Следовательно, для любой траектории на сфере такой, что существует $\ddot{\vec{r}}$, существует параметризация при которой выполняется равество $(\dot{\vec{r}},\ddot{\vec{r}})=0$

У вас вектор равен числу (1), как это понимать.