Задача по статике

[Marina]

Подскажите, пожалуйста, как решить такую задачу:
В медном шаре радиусом $R$ находится сферичесая полость радиусом $3/4 R$, касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии от центра шара находится центр масс?

[Батороев]

Допустим, что полость касается поверхности сферы в т. $A$. Диаметрально противоположная точка - $B$.
Очевидно, что центр масс находится на прямой $AB$.

Если подвесить сферу за т. $C$, находящуюся на поверхности сферы на равном удалении от точек $A$ и $B$ то, что необходимо выполнить, чтобы уравновесить сферу?

[Marina]

Любые две произвольные части шара уравновешивают друг друга относительно
центра шара, т.е. их моменты относительно центра будут равны.

[Батороев]

Это справедливо для неполой сферы.
В Вашем случае сфера полая.
Какой отсюда следует вывод по отношению к вопросу, который я задал ранее?

[Marina]

Сделать сферическую полость на симметричной стороне.

[Батороев]

Как вариант и это пойдет.

Но я имел в виду другой вариант: заполнить полость медью, либо, что эквивалентно, к центру полости подвесить груз массой, равной массе меди, которой мы собирались заполнить полость. Таким образом, сфера будет уравновешена.

Что мы имеем?
На наших "весах" относительно точки подвеса имеются два груза: один мы сами подвесили, второй уже был (сфера с полостью).

Отношение масс грузов для нас - не тайна. Плечо подвески второго (цм), надеюсь, найдем.

[ewert]

Логически самый простой способ: посчитать центр масс системы из сплошного шара радиуса $R$ и шарика отрицательной массы радиусом ${3\over4}R$.

[Батороев]

Абстракционист Вы однако, ewert!
И Marina тоже - абстракционист!
Это я как-то не догадался сразу!
Ведь она тоже уравновешивала сферой отрицательной массы!!!

[Marina]

Моё решениее такое:
Уравнение моментов
$pg \frac{4}{3}\pi(R^3-(\frac{3}{4}R)^3)x = pg\frac{4}{3}\pi(\frac{3}{4}R)^3*\frac{1}{4}R$

Получается $x = \frac{27}{148}R$

Ц.т. будет находиться в полости.

[Батороев]

И картинка красивая, и ответ правильный!