Несколько вопросов по условным матожиданиям.

[IE]

1)$\mathscr{B}_1 \subset \mathscr{B}_2 \subset\dots$ ---Неубывающая последовательность сигма-алгебр,

$$\mathscr{B}=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}(\mathscr{B}_n).$$

Доказать, что для любой случайной величины $\xi$ с конечным матожиданием

$$E(\xi|\mathscr{B}_n)\rightarrow E(\xi|\mathscr{B}) \text{(п.н.)}$$

при этом рекомендуется воспользоваться следующим утверждением

$$P(\sup\limits_{1\leqslant k \leqslant n}|E(\xi|\mathscr{B}_k)|>\varepsilon)\leqslant \frac{E|\xi|}{\varepsilon},\quad{} \forall \varepsilon >0$$

, в качестве критерия сходимости (п.н.) я рассматривал

$$P(\sup\limits_{k \geqslant n}|E(\xi|\mathscr{B}_k)-E(\xi|\mathscr{B})|>\varepsilon)\rightarrow 0$$

, но что-то склеить все вместе не удалось((.

2)$\mathscr{B}_1 \mathscr{B}_2$ --- сигма-алгебры. Доказать, что их условная независимость относительно сигма-алгебры $\mathscr{B}$ равносильна тому, что

$$\forall B_2 \in \mathscr{B}_2\quad{} P(B_2|\mathscr{B}\mathscr{B}_1)=P(B_2|\mathscr{B})$$

$$\forall B_1 \in \mathscr{B}_1, B_2 \in \mathscr{B}_2, \quad{} P(B_1B_2|\mathscr{B})=P(B_1|\mathscr{B})P(B_2|\mathscr{B}) \text{--- определение условной независимости}$$

была рекомендация доказать, что первое утверждение равносильно следующему

$$E(I_{B_1}E(I_{B_2}|\mathscr{B}\mathscr{B}_1)|\mathscr{B})=E(I_{B_1}E(I_{B_2}|\mathscr{B})|\mathscr{B})$$

, что не вызывает трудностей, однако сложнее оказалось доказать, что третье утверждение равносильно условной независимости

[Хорхе]

Второе утверждение недавно обсуждалось именно здесь. Поищите по форуму.

-- Чт авг 27, 2009 00:38:50 --

Первая задача -- это ничто иное как теорема о сходимости мартингалов. Посмотрите, например, в книжке Ширяева "Вероятность". (У меня третье издание, это в параграфе 4 седьмой главы.)

[IE]

Хорхе, спасибо. Нашел тему, где обсуждалась похожая задача http://dxdy.ru/post225394.html:

Цитата:

Показать, что это эквивалентно тому, что
$\forall A_1 \in \mathcal{G}_1$
$P (A_1 | \sigma(\mathcal{G}_2 \bigcup \mathcal{G}_3)) = P(A_1 | \mathcal{G}_3)$

Беда в том, что в варианте задачи рассмотренном там она решается без особых трудностей, так как $\mathscr{B}_1\subseteq\sigma(\mathscr{B}\cup\mathscr{B}_1)$, в моем же варианте надо показать, что условная независимость эквивалентна $P (B_2 | \mathscr{B} \mathscr{B}_1)) = P(B_2 | \mathscr{B})$, что несколько неприятней т.к. например $I_{B_1}$ может быть не измерим относительно $\mathscr{B}\mathscr{B}_1$, возникает подозрение, а нет ли ошибки в условии?

[Хорхе]

IE в сообщении #238394 писал(а):

Беда в том, что... в моем же варианте надо показать, что условная независимость эквивалентна $P (B_2 | \mathscr{B} \mathscr{B}_1)) = P(B_2 | \mathscr{B})$, что несколько неприятней т.к. например $I_{B_1}$ может быть не измерим относительно $\mathscr{B}\mathscr{B}_1$, возникает подозрение, а нет ли ошибки в условии?

Ошибки может и не быть. Смотря что вообще означает запись $\mathscr{B}\mathscr{B}_1$. Я таких записей не встречал. Может это внутреннее пересечение, а не внешнее. Или сигма-алгебра, порожденная внутренним пересечением (конечно, совпадающая с той, что порождена объединением).

Для внешнего пересечения это, естественно, неверно.

Например, $\mathscr{B}_1$ тривиальна, а $\mathscr{B}=\mathscr{B}_2$ нетривиальна.

[IE]

Я под $\mathscr{B}\mathscr{B}_1$ понимаю сигма-алгебру, являющуюся пересечением двух сигма-алгебр. Может авторы имели ввиду что-то другое.

-- Чт авг 27, 2009 11:29:30 --

Хорхе в сообщении #238404 писал(а):

Может это внутреннее пересечение, а не внешнее. Или сигма-алгебра, порожденная внутренним пересечением (конечно, совпадающая с той, что порождена объединением).

Для внешнего пересечения это, естественно, неверно. ...

А что такое внутреннее и внешнее пересечение?

[Хорхе]

Внешнее пересечение - собственно пересечение.
Внутреннее пересечение классов множеств $\cal A$ и $\cal B$ -- это

$$ \{A\cap B|A\in \cal A, B\in \cal B\}. $$

Зря Вы краснеете, этого не стыдно не знать

-- Чт авг 27, 2009 12:51:37 --

Я, кстати, поправил свой контрпример для пересечения, посмотрите.

[IE]

Хорхе, еще раз спасибо, изучаю теоремы о сходимости для мартингалов, нечестно давать такие задачки

[IE]

Не прошло и ста лет, но доказательство утверждения нашлось в книжке Партасарати: Введение в теорию вероятностей и теорию меры. Там оно выглядит гораздо приятнее, чем у Ширяева.
Сначала, как и предлагалось в задачнике, доказывается неравенство Дуба:
$\mathscr{B}_1\subset\mathscr{B}_2\subset\ldots$ --- возрастающая последовательность $\sigma$-подалгебр $\sigma$-алгебры $\mathscr{B},$ $g\in L_1(\mu)$, $g_i=E(g|\mathscr{B}_i)$, тогда для любого положительного $\varepsilon$

$$\mu\Bigl\{x: \sup\limits_{1\leqslant i\leqslant n}|g_i(x)|>\varepsilon)\Bigr\}\leqslant\frac{\int|g|\,d\mu}{\varepsilon}.$$

Доказательство самого утверждения выглядит так:
По "телескопическому" (не помню, где встречал такое название) свойству у.м.о. имеем

$$E(g|\mathscr{B}_n)=E(E(g|\mathscr{B}_\infty)|\mathscr{B}_n)\quad \forall\,n.$$

Тогда полагаем, что $\mathscr{B}=\mathscr{B}_\infty$. $S_n$ --- подпространство $\mathscr{B}_n$-измеримых функций в $L_1(\mu)$. Положим $S=\bigcup\limits_n S_n$. $S$ плотно в $L_1(\mu)$. Тогда для произвольного положительного $\varepsilon$ существует функция $h\in S$, такая что $E|g-h|<\varepsilon^2$.

$$\varlimsup|E(g|\mathscr{B}_n)-g|\leqslant\varlimsup|E(g-h|\mathscr{B}_n)|+\varlimsup|E(h|\mathscr{B}_n)-h|+|g-h|.$$

По свойству у.м.о. второе слагаемое равно нулю, а вероятность того, что первое или третье больше $\varepsilon$ можно оценить по неравенству Дуба и по неравенству Чебышева соответственно.

Книжка, кстати говоря, очень интересная, условное мат. ожидание вводится как

$$E(g|\mathsr{B_0})=P^{S_0}g,$$

где $P^{S_0}$ --- ортогональная проекция на подпространство $S_0$, $S_0$ --- подпространство $L_2(\mu)$ $\mathscr{B}_0$-измеримых функций. Имхо, для знакомых с начальным курсом функционального анализа и гильбертовыми пространствами такой подход облегчает понимание происходящего.

[Хорхе]

IE в сообщении #288988 писал(а):

Книжка, кстати говоря, очень интересная, условное мат. ожидание вводится как

$$E(g|\mathsr{B_0})=P^{S_0}g,$$

где $P^{S_0}$ --- ортогональная проекция на подпространство $S_0$, $S_0$ --- подпространство $L_2(\mu)$ $\mathscr{B}_0$-измеримых функций. Имхо, для знакомых с начальным курсом функционального анализа и гильбертовыми пространствами такой подход облегчает понимание происходящего.

Да, это очень хорошая интерпретация.

Но как определение его не очень хорошо использовать. Ведь оно требует квадратической интегрируемости, тогда как для обычного определения достаточно интегрируемости в первой степени.

[IE]

Из приведенного определения следует выполнение стандартного равенства

$$\int\limits_A\xi\,d\mu=\int\limits_A E(\xi|\mathscr{B}_0)\,d\mu\quad\forall\,A\in\mathscr{B}_0.$$

Потом автор задается вопросом: а можно ли с помощью этого равенства определить единственную функцию в $L_1(\mu)$, оказывается, что можно, и таким образом получаем стандартное определение, просто это делается без применения теоремы Радона--Никодима.