Не прошло и ста лет, но доказательство утверждения нашлось в книжке Партасарати: Введение в теорию вероятностей и теорию меры. Там оно выглядит гораздо приятнее, чем у Ширяева.
Сначала, как и предлагалось в задачнике, доказывается неравенство Дуба:

--- возрастающая последовательность

-подалгебр

-алгебры

,

, тогда для любого положительного


Доказательство самого утверждения выглядит так:
По "телескопическому" (не помню, где встречал такое название) свойству у.м.о. имеем

Тогда полагаем, что

.

--- подпространство

-измеримых функций в

. Положим

.

плотно в

. Тогда для произвольного положительного

существует функция

, такая что

.

По свойству у.м.о. второе слагаемое равно нулю, а вероятность того, что первое или третье больше

можно оценить по неравенству Дуба и по неравенству Чебышева соответственно.
Книжка, кстати говоря, очень интересная, условное мат. ожидание вводится как

где

--- ортогональная проекция на подпространство

,

--- подпространство

-измеримых функций. Имхо, для знакомых с начальным курсом функционального анализа и гильбертовыми пространствами такой подход облегчает понимание происходящего.