Что касается того, что максимальное значение не может превышать указанное Вами, то тут такое рассуждение:
Исходное неравенство эквивалентно такому

Полагая здесь

и

, а затем переходя к пределу при

,
получаем, что (символы пределов я опускаю для краткости написания)

И окончательно в предельной форме, разделив числитель и знаменатель на

, получим, что

.
Но отсюда получается, что максимальное значение

равно

А значит максимальное значение

равно, ну короче то, которое указано Вами.
Но дальше опять затык. Не могу просто подступиться к тому, чтобы найти удобную и приемлемую оценку. Для значений k до 1 все легко и просто, а дальше никак.
Хотя наверно тут все на грани работает.