2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференцирование интеграла
Сообщение08.02.2010, 10:20 
Заслуженный участник


08/09/07
841
Дана функция $u(x)=\int_{R} |x-y|f(y)dy$, где $f(y)$ интегрируемая с компактным носителем.
1. Необходимо показать непрерывность $u(x)$.
$$|u(x)-u(x_0)|=|\int_{R} (|x-y|-|x_0-y|)f(y)dy| \leq \int_{R} ||x-y|-|x_0-y||f(y)dy \leq $$ $$\int_{R} |x-x_0|f(y)dy \leq \delta /2 \int_{R} f(y)dy = \epsilon $$ $$\delta=\epsilon /K, K=\int_{R} f(y)dy$$
2. Теперь даётся условие, что $f(y)$ интегрируемая, с компактным носителем и ограниченная. Необходимо показать, что $u(x)$ имеет непрерывную производную. Это также показывать по определению производной, или можно как-то проще? Теоремы по дифференцированию интеграла зависимого от параметра требуют непрерывности подынтегральной функции, что в данном случае не выполняется

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение08.02.2010, 11:01 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Попробуйте проинтегрировать по частям. Скажем, если носитель $[0,1]$, то имеем $$\int_0^1|x-y|f(y)\,dy=\int_0^1|x-y|\,dF(y)=F(1)|x-1|-F(0)|x|+\left(\int_0^x-\int_x^1\right)F(y)\,dy$$, где $F$ - неопределенный интеграл, и т.д.

Интегрирование по частям законно, потому что $f$ интегрируема, а $|x-y|$ - функция ограниченной вариации. Второй интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.

Должна наступить ясность.

 i  Обратите внимание на мои модные скобочки: \left( ... \right)
С модулями тоже так можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение08.02.2010, 11:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexey1 в сообщении #286415 писал(а):
Теоремы по дифференцированию интеграла зависимого от параметра требуют непрерывности подынтегральной функции,

Ну смотря какие теоремы; ясно, что это требование в любом случае избыточно и накладывается лишь для простоты доказательства.

А в данном случае -- просто в лоб. Пусть $x=x_0+\Delta x$. Тогда $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(|x-y|-|x_0-y|)\,f(y)\,dy=\Delta x\int\limits_{-\infty}^{x_0}f(y)\,dy-\Delta x\int\limits_{x}^{+\infty}f(y)\,dy-2\int\limits_{x_0}^{x}\left(y-{x+x_0\over2}\right)f(y)\,dy$$ (если какие знаки перепутал, то пардон, но это ни на что не влияет). Ясно, что два первых интеграла после деления на $\Delta x$ дадут в пределе $\Delta x\to0$ функцию $\int\limits_{-\infty}^{x}f(y)\,dy-\int\limits_{x}^{+\infty}f(y)\,dy$, и она непрерывно зависит от $x$. А третий интеграл, очевидно, есть $o(\Delta x)$. И зачем понадобилось требовать от $f(y)$ дополнительно ещё и ограниченности -- совершенно непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение08.02.2010, 20:26 
Заслуженный участник


08/09/07
841
AD, ewert спасибо за Ваши ответы.
ewert в сообщении #286433 писал(а):
И зачем понадобилось требовать от $f(y)$ дополнительно ещё и ограниченности -- совершенно непонятно.

Вот и мне это не понятно. Я уж думал, что может это какое-то свойство даёт несобственному интегралу, что и даст простое решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцирование интеграла
Сообщение08.02.2010, 20:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну, ограниченность функции даёт поправки к этим интегралам автоматически как $O(\Delta x^2)$. Возможно, это и имелось в виду. Только это абсолютно нелепо: непрерывность интеграла по своему пределу интегрирования -- это общий факт.

И что совершенно удручает -- бессмысленность сочетания вопросов. Как бы для непрерывности достаточно интегрируемости, а вот для дифференцируемости -- нужно якобы что-то ещё...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group