Дифференцирование интеграла

[Alexey1]

Дана функция $u(x)=\int_{R} |x-y|f(y)dy$, где $f(y)$ интегрируемая с компактным носителем.
1. Необходимо показать непрерывность $u(x)$.

$$|u(x)-u(x_0)|=|\int_{R} (|x-y|-|x_0-y|)f(y)dy| \leq \int_{R} ||x-y|-|x_0-y||f(y)dy \leq $$ $$\int_{R} |x-x_0|f(y)dy \leq \delta /2 \int_{R} f(y)dy = \epsilon $$

$$\delta=\epsilon /K, K=\int_{R} f(y)dy$$

2. Теперь даётся условие, что $f(y)$ интегрируемая, с компактным носителем и ограниченная. Необходимо показать, что $u(x)$ имеет непрерывную производную. Это также показывать по определению производной, или можно как-то проще? Теоремы по дифференцированию интеграла зависимого от параметра требуют непрерывности подынтегральной функции, что в данном случае не выполняется

[AD]

Попробуйте проинтегрировать по частям. Скажем, если носитель $[0,1]$, то имеем

$$\int_0^1|x-y|f(y)\,dy=\int_0^1|x-y|\,dF(y)=F(1)|x-1|-F(0)|x|+\left(\int_0^x-\int_x^1\right)F(y)\,dy$$

, где $F$ - неопределенный интеграл, и т.д.

Интегрирование по частям законно, потому что $f$ интегрируема, а $|x-y|$ - функция ограниченной вариации. Второй интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.

Должна наступить ясность.

Обратите внимание на мои модные скобочки: \left( ... \right)
С модулями тоже так можно.

[ewert]

Alexey1 в сообщении #286415 писал(а):

Теоремы по дифференцированию интеграла зависимого от параметра требуют непрерывности подынтегральной функции,

Ну смотря какие теоремы; ясно, что это требование в любом случае избыточно и накладывается лишь для простоты доказательства.

А в данном случае -- просто в лоб. Пусть $x=x_0+\Delta x$. Тогда

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(|x-y|-|x_0-y|)\,f(y)\,dy=\Delta x\int\limits_{-\infty}^{x_0}f(y)\,dy-\Delta x\int\limits_{x}^{+\infty}f(y)\,dy-2\int\limits_{x_0}^{x}\left(y-{x+x_0\over2}\right)f(y)\,dy$$

(если какие знаки перепутал, то пардон, но это ни на что не влияет). Ясно, что два первых интеграла после деления на $\Delta x$ дадут в пределе $\Delta x\to0$ функцию $\int\limits_{-\infty}^{x}f(y)\,dy-\int\limits_{x}^{+\infty}f(y)\,dy$, и она непрерывно зависит от $x$. А третий интеграл, очевидно, есть $o(\Delta x)$. И зачем понадобилось требовать от $f(y)$ дополнительно ещё и ограниченности -- совершенно непонятно.

[Alexey1]

AD, ewert спасибо за Ваши ответы.

ewert в сообщении #286433 писал(а):

И зачем понадобилось требовать от $f(y)$ дополнительно ещё и ограниченности -- совершенно непонятно.

Вот и мне это не понятно. Я уж думал, что может это какое-то свойство даёт несобственному интегралу, что и даст простое решение.

[ewert]

Ну, ограниченность функции даёт поправки к этим интегралам автоматически как $O(\Delta x^2)$. Возможно, это и имелось в виду. Только это абсолютно нелепо: непрерывность интеграла по своему пределу интегрирования -- это общий факт.

И что совершенно удручает -- бессмысленность сочетания вопросов. Как бы для непрерывности достаточно интегрируемости, а вот для дифференцируемости -- нужно якобы что-то ещё...