Теоремы по дифференцированию интеграла зависимого от параметра требуют непрерывности подынтегральной функции,
Ну смотря какие теоремы; ясно, что это требование в любом случае избыточно и накладывается лишь для простоты доказательства.
А в данном случае -- просто в лоб. Пусть

. Тогда

(если какие знаки перепутал, то пардон, но это ни на что не влияет). Ясно, что два первых интеграла после деления на

дадут в пределе

функцию

, и она непрерывно зависит от

. А третий интеграл, очевидно, есть

. И зачем понадобилось требовать от

дополнительно ещё и ограниченности -- совершенно непонятно.