Сходимость в H2 и L2

[Dan B-Yallay]

В пространстве Соболева $H^2[0,1]$ задано ограниченое множество $X=\{f \in H^2[0,1] : f(0)=a, \|f\|_{H^2[0,1]} \leqslant M\}$.
Нужно показать компактность $X$ в $L^2[0,1]$


В силу гильбертовости $H^2[0,1]$ существует слабо сходящаяся последовательность $f_n \to f^* \in H^2[0,1] $.
В силу компактной вложенности $H^2[0,1] \subset L^2[0,1]$ существует сходящаяся по норме$L^2[0,1]$ подпоследовательность $f_{n_m} \to f_0 \in L^2[0,1]$.
Далее рассматривая линейные функционалы на $H^2[0,1]$ получаем $f_0=f^*$.

Как доказать $f^*(0)=a$?

[Хорхе]

Это смотря как понимать $H^2[0,1]$. Если как подпространство $L^2[0,1]$, то оно состоит из классов эквивалентных функций, и тогда значение$f(0)$ абсолютно лишено смысла. Если же понимать как множество абсолютно непрерывных интегрируемых в квадрате функций с интегрируемой в квадрате второй производной, канонически вложенное в $L^2[0,1]$, то утверждение более-менее очевидно, благодаря непрерывности. Пусть меня поправят, если что.

[Dan B-Yallay]

Будем считать, что определеие $H^2[0,1]$ дано в смысле Соболева, то есть множество функций из $L^2[0,1]$ с первой и второй слабой производной в том же $L^2[0,1]$ + указанным каноническим вложением.

Очевидно что все функции в $H^2$ абсолютно непрерывны.
Если бы было доказана сходимость по непрерывной норме......
или сходимость в самОм пространстве $H^2$, то желаемый результат следовал бы из непрервного вложения
$H^2[0,1] \subset L^2[0,1]$
Но строгая сходимость получена в $L^2$

Поэтому более-менее очевидность благодаря непрерывности мне не совсем ясна.
Набросайте в каком напралевнии рыть?