2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Потерянный модуль (интегрирование через триг. подстановку)
Сообщение03.02.2010, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
В разных книгах по матану описан приём интегрирования через триг. подстановку. Например, если встречается $\sqrt{a^2-x^2}$, то можно попробовать сделать замену $x=a\sin t$, тогда, как пишут в учебниках:
$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}=a\cos t$$
(причем на $a$ и $x$ никаких условий не оговорено).

Теперь собственно вопрос: почему авторы так вольно извлекают корень, забывая модули (ведь $\sqrt[n]{x^n}=|x|$, если $n$ --- четное). По-моему, должно быть так:
$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}=|a|\,|\cos t|$$
Например при $a=-1$ "учебниковский" вариант будет неверный.

Это у меня ошибка или у них? Я смотрел во всех учебниках, что нашёл --- везде модуль забывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 21:13 


21/06/06
1721
Просто авторы уже неявно предполагают, что $a$ под корнем - число положительное, и что Вы достаточно в средней школе наигрались в игры с квадратами отрицательных чисел, помещаемых под знаки корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Хм, тут еще важны и пределы изменения $t$. Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен. Аналогично и случай замены $x = a \cos{t}$.

-- Ср фев 03, 2010 21:18:23 --

А вот ставить модуль от $a$ при такой замене нужно. Но, опять же, выбирая разные промежутки изменения $t$ можно добиться выражений и без модулей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ShMaxG в сообщении #285491 писал(а):
Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен.

Поясните пожалуйста, с какой стати мы можем так ограничивать область изменения $t$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 21:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4525
ShMaxG в сообщении #285491 писал(а):
Хм, тут еще важны и пределы изменения $t$. Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен. Аналогично и случай замены $x = a \cos{t}$.

-- Ср фев 03, 2010 21:18:23 --

А вот ставить модуль от $a$ при такой замене нужно. Но, опять же, выбирая разные промежутки изменения $t$ можно добиться выражений и без модулей.



Еще принцип аналитического продолжения работает. Если на каком-то промежутке найдена первообразная от аналитической функции $f(x)$, то равенство $F'(x)=f(x)$ распространяется и на другие промежутки - туда, куда возможно аналитическое продолжение. Поэтому при интегрировании можно с модулями и прочими константами не возиться. Главное найти какую-нибудь первообразную на каком-нибудь промежутке. А там можно посмотреть, как она на другие промежутки переносится.

Вот, кстати, первообразная $1/x$ равна $\ln x$. А в таблицах интегралов часто пишут $\ln |x|$. Почему? Потому что комплексная функция $\ln z=\ln |z|+i\arg z$. Поэтому, продолжая её с полуоси $x>0$ на полуось $x<0$ получаем $\ln |x| + i\pi$ (если продолжение вдоль верхней полуплоскости). Константу отбрасываем и получаем наш $\ln |x|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
caxap
Ну так изменение икса от $-a$ до $a$ это то же самое, что изменение $a \sin{t}$ при изменении $t$ в этом промежутке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Потерянный модуль
Сообщение03.02.2010, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ShMaxG
Дошло. Спасибо большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group