Потерянный модуль (интегрирование через триг. подстановку)

[caxap]

В разных книгах по матану описан приём интегрирования через триг. подстановку. Например, если встречается $\sqrt{a^2-x^2}$, то можно попробовать сделать замену $x=a\sin t$, тогда, как пишут в учебниках:

$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}=a\cos t$$

(причем на $a$ и $x$ никаких условий не оговорено).

Теперь собственно вопрос: почему авторы так вольно извлекают корень, забывая модули (ведь $\sqrt[n]{x^n}=|x|$, если $n$ --- четное). По-моему, должно быть так:

$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}=|a|\,|\cos t|$$

Например при $a=-1$ "учебниковский" вариант будет неверный.

Это у меня ошибка или у них? Я смотрел во всех учебниках, что нашёл --- везде модуль забывают.

[Sasha2]

Просто авторы уже неявно предполагают, что $a$ под корнем - число положительное, и что Вы достаточно в средней школе наигрались в игры с квадратами отрицательных чисел, помещаемых под знаки корней.

[ShMaxG]

Хм, тут еще важны и пределы изменения $t$. Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен. Аналогично и случай замены $x = a \cos{t}$.

-- Ср фев 03, 2010 21:18:23 --

А вот ставить модуль от $a$ при такой замене нужно. Но, опять же, выбирая разные промежутки изменения $t$ можно добиться выражений и без модулей.

[caxap]

ShMaxG в сообщении #285491 писал(а):

Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен.

Поясните пожалуйста, с какой стати мы можем так ограничивать область изменения $t$?

[Padawan]

ShMaxG в сообщении #285491 писал(а):

Хм, тут еще важны и пределы изменения $t$. Замена $x = a\sin{t}$ как правило предполагает $t \in [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$. Но тогда модуль от косинуса уже не нужен. Аналогично и случай замены $x = a \cos{t}$.

-- Ср фев 03, 2010 21:18:23 --

А вот ставить модуль от $a$ при такой замене нужно. Но, опять же, выбирая разные промежутки изменения $t$ можно добиться выражений и без модулей.

Еще принцип аналитического продолжения работает. Если на каком-то промежутке найдена первообразная от аналитической функции $f(x)$, то равенство $F'(x)=f(x)$ распространяется и на другие промежутки - туда, куда возможно аналитическое продолжение. Поэтому при интегрировании можно с модулями и прочими константами не возиться. Главное найти какую-нибудь первообразную на каком-нибудь промежутке. А там можно посмотреть, как она на другие промежутки переносится.

Вот, кстати, первообразная $1/x$ равна $\ln x$. А в таблицах интегралов часто пишут $\ln |x|$. Почему? Потому что комплексная функция $\ln z=\ln |z|+i\arg z$. Поэтому, продолжая её с полуоси $x>0$ на полуось $x<0$ получаем $\ln |x| + i\pi$ (если продолжение вдоль верхней полуплоскости). Константу отбрасываем и получаем наш $\ln |x|$.

[ShMaxG]

caxap
Ну так изменение икса от $-a$ до $a$ это то же самое, что изменение $a \sin{t}$ при изменении $t$ в этом промежутке.

[caxap]

ShMaxG
Дошло. Спасибо большое.