Равенство нулю интегралов от комплекснозначных функций

[VTV]

Существует ли такая функция $f:[0,1]\to\mathbb{C},\quad (f\in L_2[0,1])$, что $\int_0^1f(x)\,dx\neq 0$ и $\forall n\geq 2, n\in \mathbb{N}: \int_0^1 f^n(x)\,dx=0$ ?

[Полосин]

Общая идея: $\int_0^1f(x)dx=z^{-1}\int_0^1\left(e^{zf(x)}-1\right)dx$, затем показать, что такое равенство невозможно при $z\to\infty$, если $f(x)\ne0$.

[faster]

(Оффтоп)

Я ,человек с высшим образованием (инж-строитель) не понимаю -что это за китайские ероглифы Вы тут вычисляете?Зачем и где Вы думаете они Вам пригодяться?
Человеческую жизнь математикой не измеришь !
10 лет назад получил диплом ,не нашел ответа до сих пор нахрена нужны эти заумности?

[AD]

faster,
ведите себя прилично!

[terminator-II]

(Оффтоп)

По-моему, то, что faster банальный тролль не очевидно только модераторам.

[AD]

terminator-II, откройте для себя кнопку .
Всё остальное - это наши проблемы.

[VTV]

Полосин в сообщении #284111 писал(а):

Общая идея: $\int_0^1f(x)dx=z^{-1}\int_0^1\left(e^{zf(x)}-1\right)dx$, затем показать, что такое равенство невозможно при $z\to\infty$, если $f(x)\ne0$.

Из этого следовало бы такое утверждение:
Если $\forall n \geq 2:\; \int_0^1 f^n(x)\,dx=0$ то $f(x)=0.$
Но оно не является верным так как функция $f(x)=e^{2 \pi i x}$ удовлетворяет его требованиям, но не равная нулю.

[Полосин]

Согласен. И тем не менее: $f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}f_n e^{inx}=g(e^{ix})$, $i\int\limits_0^1e^{zf(x)}dx=\int\limits_{|t|=1}e^{zg(t)}dt/t$. Если ряд для $f$ конечен, то у уравнения $g'(t)=0$ могут быть только нулевые корни, а стало быть, $g(t)=at^m+b$. Общий случай остается неясным.