Интересная область

[shust]

shust в сообщении #284322 писал(а):

По поводу интересного объекта напишу, пожалуй, следующий раз, а то уже поздно.

Продолжаю. Здесь имеется два интересных, на мой взгляд, момента.
1. Залитую голубым область описывается формулой
$y^x < x^y$ или $x^y > y^x$.
Симметричная ей относительно диагонали, можно сказать, залитую белым цветом область описывается формулой
$y^x > x^y$ или $x^y < y^x$.
Наконец, граничные линии: сплошная прямая и кривая описываются формулой
$y^x = x^y$ или $x^y = y^x$.
В совокупности они представляют области знакопостоянства функции
$d(x,y,3)=x^y - y^x$ .
Эту функцию можно рассматривать как меру некоммутативности действия возведения в степень $x^y$.
Если для действий сложения и умножения меру некоммутативности тождественно равна нулю:
$d(x,y,1)=x+y - (y+x)=0$
$d(x,y,2)=x*y - y*x=0$,
то мера некоммутативности для действия возведения в степень тождественно нулю не равна.
Рисунок, собственно, и иллюстрирует это утверждение.

2.Если построить области знакопостоянства функции $d(x,y)=x^y - y^x$ в существенно более мелком масштабе, чем на приведенном рисунке,то можно прийти к мысли, выраженной в утверждении, что области знакопостоянства функций
$d(x,y)=x^y - y^x$ и
$l(x,y)=y - x$
совпадают при условии, что $x > c $и $y > c$, где $c $- некоторая константа.
Это утверждение было предложено для доказательства в теме Некоммутативность возведения в степень:

shust в сообщении #236910 писал(а):

Другими словами, для достаточно больших чисел, больших некоторой константы , отношение дружественных степеней эквивалентно отношению их показателей.

Вот эта функция $d(x,y)=x^y - y^x$, характеризующая меру некоммутативности действия возведения в степень, и является примером интересного, по мнению автора, математического объекта.

P.S.Хотелось бы узнать, насколько интересным для участников показался рассмотренный объект.