Рассуждения о рядах с применением теории групп

[Voodoo Man]

Наблюдение хоть и очень простое, но тут как-то недавно возник такой вопрос.
Если рассматривать множество последовательностей вещественных чисел ( $ f \colon \mathbb{N} \mapsto \mathbb{R}$) $X$, то на их множестве можно определить операцию сложения как "покомпонентное" сложение. Точно так же есть последовательность $E$, состоящая из нулей, обладающая тем свойством, что $\forall x \in X$ справедливо $x+E = E+x = x$; и есть для любой последовательности "обратная" к ней. Если я не ошибаюсь нигде, то с так заданными операциями множесто $X$ есть группа; за счёт того, что сложение вещественных чисел коммутативно, это вдобавок ещё и абелева группа. В этом множестве $X$ есть подмножество последовательностей $S$, которые соответствуют сходящимся (для определённости -- по Коши) рядам, причём это подмножество замкнуто относительно $b-a , \forall b,a \in S $ -- получается, что подгруппа. Ну а ещё там есть подмножество абсолютно сходящихся рядов, которое тоже является подгруппой. Вот по поводу всех этих наблюдений возникли два небольших вопроса:

"Где-нибудь в каких-нибудь работах к рядам вообще применялся подход со стороны теории групп?" С гуглом особо не преуспел в поисках ответа.

И второй вопрос. Поскольку сходящиеся ряды образуют абелеву группу, то абсолютно сходящиеся ряды -- нормальный делитель в ней. Что тогда может представлять собой факторгруппа сходящихся рядов по абсолютно сходящимся? И есть ли где про это почитать?

[Padawan]

Это относится не к теории групп, а к функциональному анализу - различные пространства последовательностей.

[Lyoha]

По первому вопросу. Если нет учебника, то "определение линейного пространства" первой ссылкой в Яндексе и третьей в Гугле ведёт вот сюда.

По второй части. По определению элементы факторгруппы понятны: состоят из рядов, разность которых абсолютно сходится. Вопрос о каких-то простых критериях?

[AD]

В учебный раздел.

[Voodoo Man]

Lyoha в сообщении #284903 писал(а):

По первому вопросу. Если нет учебника, то "определение линейного пространства" первой ссылкой в Яндексе и третьей в Гугле ведёт вот сюда.

Спасибо, конечно, я очень люблю перечитывать определение линейного пространства. Только здесь я не понимаю, к чему вы их упомянули. Меня интересует именно подход к рядам с точки зрения групп, а не с точки зрения линейных пространств.

Lyoha в сообщении #284903 писал(а):

По второй части. По определению элементы факторгруппы понятны: состоят из рядов, разность которых абсолютно сходится. Вопрос о каких-то простых критериях?

И опять же, меня каждый раз несказанно радует перечитывать определение факторгруппы. Только раскрыть определение я раскрыл, а вот дальше интересно -- есть ли что-то за пределами упражнения "объясните, какие ряды находятся в одном смежном классе группы такой-то по подгруппе такой-то"? математической литературы очень много, а я ещё не так давно "копаюсь" в ней, поэтому и хотел спросить, может кто сталкивался с такими рассуждениями.

[Профессор Снэйп]

Voodoo Man в сообщении #285005 писал(а):

Меня интересует именно подход к рядам с точки зрения групп, а не с точки зрения линейных пространств.

Каждое линейное пространство является группой.

Ваше $X$ --- это не просто группа, а линейное пространство.

[antbez]

Интересен момент с "обратной" последовательностью. Если вспомнить о понятии "сходимости", то получается, что сходящиеся ряды не образуют "группу".

[AD]

antbez в сообщении #285102 писал(а):

сходящиеся ряды не образуют "группу"

Серьёзно? Поясните.

[antbez]

Если обратную последовательность понимать как составленную из обратных членов (в минус первой степени), то это- так.

[ewert]

antbez в сообщении #285116 писал(а):

Если обратную последовательность понимать как составленную из обратных членов (в минус первой степени),

А нету такой операции на пространстве последовательностей.

[Профессор Снэйп]

Группа абелева, записывается аддитивно. Обратным элементом к последовательности $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ будет последовательность $\{ -x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, а не последовательность $\{ x_n^{-1} \}_{n \in \mathbb{N}}$. Нейтральным элементом группы --- последовательность, составленная из нулей, а не последовательность, составленная из единиц.

-- Вт фев 02, 2010 17:27:34 --

Я, кстати, не совсем понял, что топикстартер понимает под сходящися (абсолютно сходящимся) рядом. По-видимому, такую последовательность $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, для которой последовательность $\{ \sum_{i=0}^n x_i \}_{n \in \mathbb{N}}$ ($\{ \sum_{i=0}^n |x_i| \}_{n \in \mathbb{N}}$) сходится.

Уж больно расплывчато он выражается. В стиле "пойди туда, не знаю куда, найди то, не знаю что". Тема на грани дискуссионного раздела.

-- Вт фев 02, 2010 17:37:33 --

Voodoo Man в сообщении #284868 писал(а):

Что тогда может представлять собой факторгруппа сходящихся рядов по абсолютно сходящимся?

Вам что требуется? Описание этой группы с точностью до изоморфизма?

Это просто. Нужно всего лишь в первую очередь действительно вспомнить, что наши группы на самом деле не группы, а векторные пространства над $\mathbb{R}$. Ну а каковы аддитивные группы векторных пространств? Очевидно, что их тип изоморфизма характеризуется их мощностью. Если пространство континуально, то группа изоморфна $\langle \mathbb{R}, + \rangle$. В данном случае это исчерпывающий ответ на Ваш вопрос.

Группы тут смотреть не интересно, слишком бедная у них структура Лучше уж действительно векторные пространства. По крайней мере можно поинтересоваться размерностью. Ну а если вспомнить про нормы, ввести топологию и т. п. --- вот тут-то как раз и появляется огромное поле интересных вопросов, и выплывает функан во всей своей величественной красе

[AD]

antbez в сообщении #285116 писал(а):

Если обратную последовательность понимать как составленную из обратных членов (в минус первой степени), то это- так.

Обратную операцию надо понимать как обратную операцию и никак иначе. Это вполне конкретная операция, после указания основной операции Вы не можете произвольно выбирать обратную.

[Voodoo Man]

Профессор Снэйп в сообщении #285146 писал(а):

Я, кстати, не совсем понял, что топикстартер понимает под сходящися (абсолютно сходящимся) рядом. По-видимому, такую последовательность $\{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$, для которой последовательность $\{ \sum_{i=0}^n x_i \}_{n \in \mathbb{N}}$ ($\{ \sum_{i=0}^n |x_i| \}_{n \in \mathbb{N}}$) сходится.

Уж больно расплывчато он выражается. В стиле "пойди туда, не знаю куда, найди то, не знаю что". Тема на грани дискуссионного раздела.

Да, именно такую последовательность я и понимал. За расплывчатость изъяснения извините, будем исправляться

Профессор Снэйп в сообщении #285146 писал(а):

Группы тут смотреть не интересно, слишком бедная у них структура Лучше уж действительно векторные пространства. По крайней мере можно поинтересоваться размерностью. Ну а если вспомнить про нормы, ввести топологию и т. п. --- вот тут-то как раз и появляется огромное поле интересных вопросов, и выплывает функан во всей своей величественной красе

Вот, за это разъяснение большое спасибо! То, что такие последовательности образуют линейное пространство я знал, конечно, но было интересно, можно ли ещё найти какие-то интересные и нетривиальные рассуждения на уровне групп, не забегая в линейные пространства. Вот теперь знаю, что уже вряд ли, раз "слишком бедная у них структура".

[paha]

А что мелочится? рассматривай алгебру числовых (и не только числовых) рядов, т.е. множеств0 последовательностей $\{x_n\}_{n\ge 0}$ с покоординатным сложением и умножением $xy=z$

$$z_n=\sum_{p+q=n}x_py_q$$

[ewert]

paha в сообщении #285390 писал(а):

А что мелочится? рассматривай алгебру числовых (и не только числовых) рядов, т.е. множеств0 последовательностей $\{x_n\}_{n\ge 0}$ с покоординатным сложением и умножением $xy=z$

$$z_n=\sum_{p+q=n}x_py_q$$

Упражнение. Доказать, что это не алгебра (т.е. что нет замкнутости относительно умножения).