2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывное продолжение функции
Сообщение15.01.2010, 22:51 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Подскажите, пожалуйста, в каких источниках можно почитать про непрерывные продолжения функций.

Интересует, например, следующая задача: имеется непрерывная неубывающая (по обеим переменным) функция $f:\left\{ (x,y)  \in \mathbb {R}^2: x < y \right\} \mapsto \mathbb {R}$. Всегда ли для нее существует непрерывное продолжение на множество $\left\{ (x,y)  \in \mathbb {R}^2: x \leqslant y \right\}$?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение функции
Сообщение15.01.2010, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13437
с Территории
Представьте себе арктангенс, который делается всё круче, круче, и наконец переходит в разрывную ступеньку.
Теперь боком.
Э?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение функции
Сообщение16.01.2010, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
интересно, если бы потребовать равномерной непрерывности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывное продолжение функции
Сообщение31.01.2010, 19:03 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
А разве монотонность в данном примере не гарантирует существования непрерывного продолжения? Проверьте, пожалуйста:
Для произвольного $x_0$ рассмотрим предел $\lim \limits_{x \to x_0-0} F(x,x_0)$. В силу монотонности и ограниченности сверху функции $x \mapsto F(x,x_0)$ на множестве $(-\infty,x_0)$, предел существует и конечен. Обозначим этот предел за $F(x_0,x_0)$.
Аналогично, существует и конечен предел $\lim \limits_{x \to x_0+0} F(x_0,x)$. В силу непрерывности $F$ он также равен $F(x_0,x_0)$.
Получаем, что таким образом доопределенная функция $F$ непрерывна по обеим переменным в точке $(x_0,x_0)$ и монотонна по ним, следовательно она непрерывна в этой точке по совокупности переменных...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group