Непрерывное продолжение функции

[Mikhail Sokolov]

Подскажите, пожалуйста, в каких источниках можно почитать про непрерывные продолжения функций.

Интересует, например, следующая задача: имеется непрерывная неубывающая (по обеим переменным) функция $f:\left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^2: x < y \right\} \mapsto \mathbb {R}$. Всегда ли для нее существует непрерывное продолжение на множество $\left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^2: x \leqslant y \right\}$?

Спасибо.

[ИСН]

Представьте себе арктангенс, который делается всё круче, круче, и наконец переходит в разрывную ступеньку.
Теперь боком.
Э?

[gris]

интересно, если бы потребовать равномерной непрерывности?

[Mikhail Sokolov]

А разве монотонность в данном примере не гарантирует существования непрерывного продолжения? Проверьте, пожалуйста:
Для произвольного $x_0$ рассмотрим предел $\lim \limits_{x \to x_0-0} F(x,x_0)$. В силу монотонности и ограниченности сверху функции $x \mapsto F(x,x_0)$ на множестве $(-\infty,x_0)$, предел существует и конечен. Обозначим этот предел за $F(x_0,x_0)$.
Аналогично, существует и конечен предел $\lim \limits_{x \to x_0+0} F(x_0,x)$. В силу непрерывности $F$ он также равен $F(x_0,x_0)$.
Получаем, что таким образом доопределенная функция $F$ непрерывна по обеим переменным в точке $(x_0,x_0)$ и монотонна по ним, следовательно она непрерывна в этой точке по совокупности переменных...