Очевидно, что если существуют целые решения уравнения

, то существуют рациональные решения уравнения

.
Несложно видеть, что если существуют рациональные решения

,

, то существуют рациональные решения уравнения

.
Действительно, если

и

,

, рациональные решения уравнения

, то несложно видеть, что

,

– рациональные решения уравнения

.
Очевидно, что уравнение

не имеет решений в целых числах, что легко доказать, пользуясь любимым приемом ферматиков, проверяя на четность/нечетность числа

и

.
Можно ли утверждать, что уравнение Туе

не имеет рациональных решений?
Можно ли утверждать, что уравнение Туе

, где

- любое целое число, не имеет целых решений?
Переход от

к

очевиден. Действительно, если

и

,

, целые решения уравнения

, то

, где

. Тогда

,

будут целыми решениеми уравнения

.
Замечание 1.
Переход

или

забавен тем, что мы избавляемся от тривиальных решений уравнения

, , т.е когда

.
Эти тривиальные решения очень мешаются – они прилипают и от них надо отделаться. Мне сдается, что отлепив их, доказывать, что некоторое уравнение не имеет решений намного проще.
Замечание 2.
Уравнение Туе

эквивалентно уравнению

, т.е. уравнению Морделла. Специалисты по кривулькам Морделла это подтвердят, ибо уравнение

– это вид кривой

в минимальной форме Вейерштрасса.
Можно ли утверждать, что уравнение Морделла

не имеет рациональных решений?
Специалисты по кривулькам Морделла могут написать вид взаимно однозначных рациональных преобразований кривой

в кривую

. Заметим, что уравнение

не имеет решений в целых числах. Доказывается элементарными методами.