Уравнение Туэ uv(u+v)=1 и ВТФ для тройки

[grisania]

Очевидно, что если существуют целые решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, то существуют рациональные решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$.
Несложно видеть, что если существуют рациональные решения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$, $xy\ne 0$, то существуют рациональные решения уравнения $uv\left( u+v \right)=1$.
Действительно, если $x$ и $y$, $xy\ne 0$, рациональные решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}=1$, то несложно видеть, что $u={{{y}^{2}}}/{x}\;$, $v={-1}/{xy}\;$ – рациональные решения уравнения $uv\left( u+v \right)=1$.
Очевидно, что уравнение $uv\left( u+v \right)=1$ не имеет решений в целых числах, что легко доказать, пользуясь любимым приемом ферматиков, проверяя на четность/нечетность числа $u$ и $v$.

Можно ли утверждать, что уравнение Туе $uv\left( u+v \right)=1$ не имеет рациональных решений?
Можно ли утверждать, что уравнение Туе $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$, где $k$ - любое целое число, не имеет целых решений?

Переход от ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$ к $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$ очевиден. Действительно, если $x$ и $y$, $xy\ne 0$, целые решения уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, то ${{x}^{3}}{{y}^{3}}\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} \right)={{k}^{3}}$, где $k=xyz$. Тогда $u={{x}^{3}}$, $v={{y}^{3}}$ будут целыми решениеми уравнения $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$.

Замечание 1.
Переход $uv\left( u+v \right)=1$ или $uv\left( u+v \right)={{k}^{3}}$ забавен тем, что мы избавляемся от тривиальных решений уравнения ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}={{z}^{3}}$, , т.е когда $xyz=0$.
Эти тривиальные решения очень мешаются – они прилипают и от них надо отделаться. Мне сдается, что отлепив их, доказывать, что некоторое уравнение не имеет решений намного проще.

Замечание 2.
Уравнение Туе $uv\left( u+v \right)=1$ эквивалентно уравнению ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$, т.е. уравнению Морделла. Специалисты по кривулькам Морделла это подтвердят, ибо уравнение ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ – это вид кривой $uv\left( u+v \right)=1$ в минимальной форме Вейерштрасса.

Можно ли утверждать, что уравнение Морделла ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет рациональных решений?

Специалисты по кривулькам Морделла могут написать вид взаимно однозначных рациональных преобразований кривой $uv\left( u+v \right)=1$ в кривую ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$. Заметим, что уравнение ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет решений в целых числах. Доказывается элементарными методами.

[maxal]

grisania в сообщении #265214 писал(а):

Можно ли утверждать, что уравнение Морделла ${{V}^{2}}={{U}^{3}}+16$ не имеет рациональных решений?

У этого уравнения два решения $(V,U)=(\pm 4,0)$, которые вместе с бесконечно удаленной точкой образуют подгруппу кручения группы точек этой кривой. Ну а так как ранг кривой равен 0, то других решений нет.