Наименьшее число с заданным количеством делителей

[Reebok]

В 11 классе проходит домашняя олимпиада по математике, друг попросил решить ему задачки, 3 дня ломал голову, так и не смог ничего разобрать толком.
Предлагаю вашему вниманию на мой взгляд самую интересную задачу.

"Найдите наименьшее натуральное число, у которого количество всех натуральных делителей равно 2010."

Сам я нашёл алгоритм, нужно раскладывать на простые числа, но с числом 2010 это будет очень проблематично, так как оно слишком большое. Писать программу тоже нельзя, так как задача всё таки по математике.
Наверное существует какой-нибудь хитрый приём, а я как человек больше относящийся в физике его попросту не знаю.
Если знаете вы, поделитесь, пожалуйста, не хочется портить мнение о Радиофаке)

[Maslov]

Reebok в сообщении #283982 писал(а):

Наверное существует какой-нибудь хитрый приём

Да вроде не надо здесь никаких хитрых приёмов.
Какое наименьшее натуральное число имеет 3 делителя? А 4 делителя? А 5 делителей?

[Reebok]

3 делителя у числа 4;
4 у числа 6;
5 делителей у числа ;
6 у числа 12.

А связь тут какая получается? веть до 2010 так не досчитаешь..

[Sasha2]

Даже в уме решая сразу такой ответ напрашивается
$2^{66}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot7^1$

[Maslov]

Если разложение числа на простые множители имеет вид $$x = p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$, то количество его делителей равно $(n_1+1)(n_2+1)...(n_k+1)$.
Поэтому нам надо разложить 2010 на простые множители, а потом найти такие $p_1, ..., p_k$, чтобы $p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}$ было наименьшим.

[Reebok]

Огромное спасибо, всё понятно)

-- Ср янв 27, 2010 17:43:34 --

А можно ещё задачку такого же плана? )

[Maslov]

Reebok в сообщении #283995 писал(а):

А можно ещё задачку такого же плана? )

Даже не знаю, что и ответить
Выкладывайте, а можно или нельзя, посмотрим.