НОД

[ShMaxG]

Alex_B в сообщении #283254 писал(а):

ShMaxG не прав. Задача не решена, так как пока что выяснено, что среди трёх чисел есть пара чётных. Это ещё не означает, что НОД этих трёх чисел отличен от 1.

Ээх, вы правы. Ошибся я не на шутку, поэтому прошу прощения у автора темы.

Кстати, а контрпример, когда $a,b,c$ - целые, можете привести?

P.S. А доказательство интересное Правда, в противоречии еще не до конца убедился.

[Alex_B]

Контрпример для целых чисел получается, если a=0, b+c=1.
Не могу придумать контрпример для ненулевых a, b, c.

Насчёт противоречия: легко видеть, что z обязано делиться на Ay+Bx. Это противоречит минимальности z.

[ShMaxG]

Alex_B
А, ну да. Теперь все ясно. А нетривиальный контр пример я тоже что-то не могу придумать...

-- Пн янв 25, 2010 23:22:26 --

Придумал!
$a=-2,b=3,c=6$.

[Alex_B]

Очень хорошо!
Тогда я обобщу ваш контрпример: годятся любые ненулевые a, b и c, удовлетворяющие уравнению: $ab + bc + ca = 0$.
Параметрически: $a = u(u+v), b = v(u+v), c = -uv$.
Если взаимно просты u и v, то взаимно просты a, b и c.