голоморфность и дифференцируемость

[malin]

Помогите, пожалуйста, разобраться в основах ТФКП.
В лекциях есть такая фраза: функция $f(a + ib) \equiv a - ib$ не голоморфна нигде на $\mathbb{C}$, но дифференцируема всюду в $\mathbb{C}$.
Мне не понятна разница между голоморфностью и дифференцируемостью.

Понятие голоморфности определялось так:
Пусть $D \subset \mathbb{C}$ - область, $f:D \rightarrow \mathbb{C}$. Будем говорить, что функция $f$ голоморфна в точке $z_0 \in D$, если существует конечный $\lim\limits_{z \to z_0}\frac {f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \in \mathbb{C}$.
А как обычно определяется дифференцируемость?(или это, всё-таки, одно и то же?)

[Padawan]

Функция называется дифференцируемой в точке, если в окрестности этой точки она может быть представлена как линеная функция + бесконечно малые выше первого порядка. Короче, функция линеаризуется в окрестности точки.

Комплексная $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ будет дифференцируема тогда и только тогда, когда таковыми являются её действитетльная и мнимая части, т.е $u(x,y)$ и $v(x,y)$

А чтобы она обладала комплексной производной, надо на $u$ и $v$ наложить условия Коши-Римана.

-- Сб янв 23, 2010 22:10:18 --

Кстати, то, что Вы назвали голоморфностью, обычно называется моногенностью в точке $z_0$. А голоморфность в $z_0$ - это моногенность в некоторой окрестности $z_0$.

[malin]

Спасибо, понял.
Насчёт моногенности - нам говорили, что голоморфность, моногенность и регулярность - это одно и то же.

[ewert]

malin в сообщении #283042 писал(а):

Мне не понятна разница между голоморфностью и дифференцируемостью.

Тут проблемы с терминологией. Во второй половине Вашей предыдущей фразы подразумевалась дифференцируемость по совокупности вещественных переменных. А под голоморфностью понимается дифференцируемость по комплексному аргументу. И это суть вещи разные (второе требование -- существенно более жёсткое). В нормальных курсах подобного рода коллизий стараются избегать и, соотв., не употреблять слова "дифференцируемость" (в качестве эквивалентности голоморфности) -- во избежание недоразумений.

[GAA]

malin, вместо определения голоморфной функции вы привели определение существования у функции комплексной производной, что для функции одного переменного эквивалентно $\mathbb C$-дифференцируемости. Т.е. то, что Вы записали можно взять за определение $\mathbb C$-дифференцируемости в точке $z_0$.
Как Вам уже подсказали, для голоморфности функции в точке $z_0$ она должна быть $\mathbb C$-дифференцируемой в некоторой окрестности точки $z_0$. Стандартный пример, $f=z \bar z$ — $\mathbb C$-дифференцируема только в нуле, голоморфной в нуле не является.

-- Сб 23.01.2010 22:03:05 --

Пока я набирал, Padawan ответил, поэтому добавлю, чтобы согласовать ответы.
$\mathbb C$-дифференцируемость, дифференцируемость в смысле комплексного анализа и моногенность — это одно и то же (термины используемые разными авторами), а голоморфность — требует большего.