malin, вместо определения голоморфной функции вы привели определение существования у функции комплексной производной, что для функции одного переменного эквивалентно

-дифференцируемости. Т.е. то, что Вы записали можно взять за определение

-дифференцируемости в точке

.
Как Вам уже подсказали, для голоморфности функции в точке

она должна быть

-дифференцируемой в некоторой окрестности точки

. Стандартный пример,

—

-дифференцируема только в нуле, голоморфной в нуле не является.
-- Сб 23.01.2010 22:03:05 --Пока я набирал,
Padawan ответил, поэтому добавлю, чтобы согласовать ответы.

-дифференцируемость, дифференцируемость в смысле комплексного анализа и моногенность — это одно и то же (термины используемые разными авторами), а голоморфность — требует большего.