дробная степень оператора Лапласа

[amandra]

как приближенно применить обратное преобразование Лапласа к передаточной функции $p^a$ или к $1/p^a$, где a может принимать значения (0;1)?

[Gafield]

Оператор Лапласа тут вроде не при чем. А зачем приближенно? С точностью до константы обратным преобразованием будет оператор дробного дифференцирования или интегрирования соответственно.

[Alhimik]

Проще всего найти ответ в таблице. В любом справочнике по высшей математике можно найти таблицу преобразования (трансформант) Лапласа.
Если интересуетесь приципиальной, то тут надо использовать обратное преобразование Laplace
$f(t)=\frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} L[f(t)]e^{i \omega t} dt$.
Непосредственно такой интеграл находить, конечно, никто не запрещает. Использовать формулу Euler'a и разложить этот интеграл на вещественную и мнимую часть никто не запрещает... Так лучше не делать.
Намного проще использовать достижения ТФКП. Запустить в оборот теорию вычетов. У вас, вроде, особыми точками будут полюса первого порядка. Короче, всё свидётся к применению формулы Cauchy
$f(z_0)= \frac 1 {2 \pi i} \oint\limits_C \frac {f(z)} {z-z_0} dz$

[Alhimik]

Ошибочка вышла...
$f(t)= \frac 1 {2 \pi i} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} L[f(t)] e^{pt} dp$

[matoni]

Может это поможет? Если $F(p)$ -- изображение функции $f(t)$, то оригиналом для $p^{-\alpha}F(p)$ будет интеграл дробного порядка $\alpha$:
$J^\alpha f(t) =\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int\limits_0^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{1-\alpha}}d\tau$.

Если, кроме того, $f(0)=0$, то оригиналом $p^{\alpha}F(p)$ является производная дробного порядка $\alpha$ (в данном случае все равно -- по Риману-Лиувиллю или Капуто).