Городская олимпиада школьников за 2009 год

[Yerkhan]

Квадратный трехчлен f(x)=ax^2+bx+c таков, что многочлен (f(x))^3-f(x) имеет три вещественных корня. Найдите ординату вершины графика этого трехчлена.

[gris]

Разложить на множители и построить эскиз графика трёхчлена.

[Yerkhan]

А подробней?

[gris]

куда уж подробнее
Кстати, $a\neq 0$ я бы оговорил.
Согните из проволочки параболу и подвигайте по трём параллельным линиям.

[Yerkhan]

Разложил на множители (f(x))^3-f(x)= f(x)(f(x)-1)(f(x)+1) потом проводим 3 прямые y=-1 y=0 y=1 через них проводим параболу.А дальше что делать?Заранее спасибо за помощь!

[gris]

Вот уже близко
Три вещественных корня. Вы это как собираетесь использовать?

хотя тут есть тонкости

[Yerkhan]

Ну я понял что она должна пересекать 3 прямые только в 3 точках. А дальше?

[gris]

А как она может располагаться,что бы было ровно 3 точки пересечения?

[Yerkhan]

У меня не получается так расположить параболу чтобы она пересекалась только в 3 точках.А как если больше точек пересечения может быть только 3 корня?

[gris]

Никак Это шутка была. Вот попробуйте разные варианты. Если вершина параболы, ветви которой направлены вверх, расположена очень низко, то будет 6 точек пересечения. Если высоко, то ноль.
Подсказка - корни считаются без учёта кратностей. То есть уравнение $x^6=0$ имеет 1 корень, а не 6 одинаковых.

[Yerkhan]

Что то я не понимаю.А парабола может пересекаться только с одной или с двумя? Или она должна пересекаться со всеми?

[gris]

Она ничего не должна, кроме ровно трёх общих точек с прямыми. А как она это сделает - её дело. Может она одну прямую пересечёт три раза, а две другие нет. Может все три по разу. Может быть стоит заменить слово "пересекает" на "имеет общие точки"?

[Yerkhan]

А вот теперь все понятно! Кстати так для сравнения у меня ответ вышел 0. А у вас?Спасибо за помощь!

[gris]

Да.

[ewert]

Нас интересует только ордината. Поэтому достаточно считать, что $b=0$, т.е. что квадратичная функция чётной (этого всегда можно добится сдвигом по иксам). Какую функцию на неё потом ни навешивай -- хоть кубическую, хоть какую -- она так чётной и останется. Т.е. ненулевых корней будет и слева, и справа поровну. А значит (поскольку общее количество корней нечётно), в нуле обязательно должен быть корень.

Вот и прикиньте, при каких значениях ординаты в нуле получается именно ноль. А потом выберите из трёх возможных значений то, которое даёт именно три корня, а не один и не пять.