Бесконечность простых чисел

[maxmatem]

докажем, что мн-во простых чисел бесконечно.
допустим обратное. пусть $P$=${p_{1},p_{2},.....,p_{k}}$$-конечно
рассмотрим число $N=p_{1}p_{2}.....p_{k}+1$ тогда найдётся чило p которое делит N значит 1 делится на p, вот противоречие. но мне оно не совсем ясно! почему найдется такое p которое делит N. и почему если p делит N то p делит эту сумму?

[ShMaxG]

maxmatem
Ну это число $N$ явно больше любого из множества $P$. А раз оно не простое, то ...

[ИСН]

А если и простое, то тоже то.

[maxmatem]

то что $N>1$
а что дальше?почему такое p существует?

[ShMaxG]

Число $N$ больше любого из множества $P$, значит в нем не лежит, не является простым, значит составное и представляется в виде произведения элементов из $P$. Значит есть кто-то из $P$, кто его делит. Но раз он делит и $p_1p_2\ldots p_k$, то должен делить и $1$.

[maxmatem]

а почему он должен делить 1. это из какого-то свойства делимости?

[ShMaxG]

Ну если $A=B+C$ и $p$ делит числа $A$ и $B$, то оно делит и $C$, это следует из здравого смысла, потому что можно число $B$ перетащить влево

[maxmatem]

но мы же сразу предположили как построено число N . вы говорите что оно составное значит оно составное и состоит из произведения простых чисел, но там же ещё +1? оно все равно составное?

[ShMaxG]

Число $N$ составное, потому что не может лежать в множестве $P$. Даже если бы мы не писали $+1$. Далее мы понимаем, что $p_1p_2 \ldots p_k$ тоже составное (которое делится на все числа из P)

[maxmatem]

я понял! спасибо за выдержку!