Объект, дифференциал которого вектор -- что это?

[zbl]

Известно, что криволинейная координата не есть вектор, ибо преобразуется по закону $x=x(x')$, но дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.
С векторами наоборот: они сами-то векторы, но их дифференциалы векторами не являются (только ковариантный дифференциал преобразуется как вектор).
А рассматривал ли кто объекты, которые сами не векторы, но дифференциалы которых являются векторами?
Коорднинаторы, так сказать...

[terminator-II]

zbl в сообщении #281525 писал(а):

дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.

это чепуха, и вообще этому место в "дискуссионных темах" имхо

[nestoklon]

zbl, вам бы про дифференциальную геометрию что-нибудь почитать. Хотя бы сможете задать вопрос так, чтобы было понятно, что конкретно вам хочется понять. В принципе, там рассматриваются всевозможные нетривиальные объекты, которые можно дифференцировать так, чтобы получались другие нетривиальные объекты.

[zbl]

terminator-II в сообщении #281557 писал(а):

zbl в сообщении #281525 писал(а):

дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.

это чепуха, и вообще этому место в "дискуссионных темах" имхо

Вам цитату из Ландау и Лифшица выписать про то, что такое вектор?
Или смутило, что пространство одномерное, потому что лень индексы писать?
Физики вектором зовут величину, компоненты которой преобразуются при замене координат по тому же закону, которому преобразуются дифференциалы.
Поэтому дифференциалы координат у нас векторы, а вот дифференциалы векторов -- не векторы.

-- 20 янв 2010 02:59 --

nestoklon в сообщении #281734 писал(а):

В принципе, там рассматриваются всевозможные нетривиальные объекты, которые можно дифференцировать так, чтобы получались другие нетривиальные объекты.

Ну, так я только и спрашиваю, рассматривал ли кто такие объекты, дифференциалы которых преобразуются как векторы, но те объекты при этому координатами не являются?
Или же просто только дифференциалы координат так преобразуются, а других таких объектов нет?

[nestoklon]

zbl в сообщении #281787 писал(а):

Ну, так я только и спрашиваю, рассматривал ли кто такие объекты, дифференциалы которых преобразуются как векторы, но те объекты при этому координатами не являются?

А чем вас ротор векторного поля или градиент скалярного не устраивает? Тем, что это не дифференциал? Так в диф геометрии как раз рассматриваются такие объекты, дифферениал которых можно сопоставить ротору от векторного поля или градиенту от скалярного. Всё строго. Но надо читать книжку. Это в двух словах не перескажешь.

А вот это утверждение про координаты -- оно какое-то странное. Возьмите любую функцию. Выпишете её дифференциал. Он как по вашему преобразуется?

zbl в сообщении #281787 писал(а):

Вам цитату из Ландау и Лифшица выписать про то, что такое вектор?

Кстати, лично я бы не советовал доверять Ландау с Лифшицем когда речь заходит о математике. То есть откровенной лажи там конечно нет -- если они пишут, что какой-нибудь интеграл равен конкретному выражению, то это так и есть. Но что касается определений и доказательств -- строгости там не ждите.

[zbl]

nestoklon в сообщении #281816 писал(а):

zbl в сообщении #281787 писал(а):

Ну, так я только и спрашиваю, рассматривал ли кто такие объекты, дифференциалы которых преобразуются как векторы, но те объекты при этому координатами не являются?

А чем вас ротор векторного поля или градиент скалярного не устраивает? Тем, что это не дифференциал?

Градиент как ковектор преобразуется, а дифференциал ковектора преобразуется не как вектор и не как ковектор.
Дифференциал ротора как преобразуется? -- вряд ли, как вектор, потому что ротор сам почти что вектор.

Мне нужно что-то, что в координатах есть, понятно, набор чисел; каждое число -- значение некоторой функции от координат.
При замене координат эти числа меняются.
Зная эти функции, знаем другой набор компонент -- дифференциал того набора.
Например, вектор и дифференциал вектора (дифференциал вектора не так же, как вектор, преобразуется в криволинейных координатах).
Мне же нужен всего лишь набор компонент, дифференциал которого преобразуется как вектор.

nestoklon в сообщении #281816 писал(а):

Так в диф геометрии как раз рассматриваются такие объекты, дифферениал которых можно сопоставить ротору от векторного поля или градиенту от скалярного. Всё строго. Но надо читать книжку. Это в двух словах не перескажешь.

Звезда Шаруф, скажи мне имя...
Как называется то, дифференциалом чего является ротор? -- векторное поле с отличным от нуля ротором, что ли?... петрушка получается... ротор того поля равен этому ротору, а не дифференциал...
Дифференциал понимается в смысле покомпонентных дифференциалов координат.

nestoklon в сообщении #281816 писал(а):

Возьмите любую функцию. Выпишете её дифференциал. Он как по вашему преобразуется?

Дифференциал скаляра что ли? -- как скаляр и будет, то есть -- никак.
Или любую многокомпонентную величину, компоненты которой заданы как функции координат? -- от тех функций зависит, например вектор тоже так можно задать.

nestoklon в сообщении #281816 писал(а):

Кстати, лично я бы не советовал доверять Ландау с Лифшицем когда речь заходит о математике.

Просто есть разная терминология в разных областях знания.
В физике вектором и дифференциалом зовут не совсем то же самое, что в математике.
Но, если математики не будут интересоваться терминологией физиков, то почему физики должны интересоваться чужой терминологией?

[nestoklon]

zbl в сообщении #282042 писал(а):

Дифференциал скаляра что ли? -- как скаляр и будет, то есть -- никак.

Ну, в таком случае, дифференциал вектора ноль. Так как производная любой константы ноль.
Имелось в виду

$$\mathm{d}f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z$$

На самом деле, вызывает море вопросов, что вы понимаете под

Цитата:

дифференциал координаты -- вектор

. Хочется больше деталей.

Остальное -- без комментариев. Читайте про дифференциальные формы и много думайте.

[zbl]

nestoklon в сообщении #282071 писал(а):

Имелось в виду

$$\mathm{d}f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z$$

Я имел в виду ровно то же самое.
Вот мы записали определение однокомпонентной величины: зададим дифференциалы координат -- получим значение этой величины, если знаем функцию $f$.
Теперь заменим координаты другими: $x=x(x')$ итд.
Значение нашей однокомпонентной величины от этого не изменится: преобразования дифференциалов при замене переменной скомпенсируют преобразования производных.
Дифференциал скаляра поэтому скаляр.
Продифференцируйте закон преобразования вектора -- получите, что дифференциал вектора не так же, как сам вектор преобразуется (дифференциал вектора -- не вектор).

nestoklon в сообщении #282071 писал(а):

На самом деле, вызывает море вопросов, что вы понимаете под

Цитата:

дифференциал координаты -- вектор

. Хочется больше деталей.

Я уже сослался на Л.Л.; Вы учебник физики читали, когда были студентом? там вектор -- это набор компонент, которые преобразуются по тому же закону, что дифференциалы координат.
Это в математике теперь (раньше и там был тоже координатный формализм) вектор -- это элемент векторного пространства, а дифференциал -- это функционал на функционале на элементе векторного пространства.

Ну, давайте, сформулируем, что такое геометрический объект в координатах.
Начинается всё с того, что вводится множество наборов чисел, которое зовут точками -- арифметическое пространство с первичными координатами.
Потом рассматривается множество координатных преобразований -- множество автоморфизмов первичных координат -- да не любых, а обратимых и достаточно гладких.
А вот теперь каждой координатной системе ставят в соответствие, заданные в каждой точке, наборы чисел.
Если преобразованию координат соответствует преобразование тех чисел только через самих себя и всяческие производные координат, то те наборы чисел называют геометрическим объектом.
Так вектор -- это объект, компоненты которого преобразуются по известному линейному закону.
Дифференциал некоторого объекта -- это объект, который преобразуется по другому закону.
Дифференциал, понятно, вдоль заданного направления имеется в виду (из за того он и функционалом от функционала стал тепериче).

nestoklon в сообщении #282071 писал(а):

Читайте про дифференциальные формы

И на том -- спасибо.

[terminator-II]

Вот не хотел я вмешиваться и не стал бы, если б топикстартер не говорил столь безаппеляционно, да еще не позиционировал бы себя тут как преподаватель вуза:

zbl в сообщении #282131 писал(а):

А я, когда ещё читал лекции

.

zbl в сообщении #282105 писал(а):

Я уже сослался на Л.Л.; Вы учебник физики читали, когда были студентом?

а Вы что-нибудь кроме этого читали?

zbl в сообщении #282105 писал(а):

там вектор -- это набор компонент, которые преобразуются по тому же закону, что дифференциалы координат.

Вы даже не понимаете, что написано в учебнике на который ссылаетесь. Компоненты это числа (в линейной алгебре) или функции точки (в диф. геометрии)
но это не символы dx, как Вы тут пишите:

zbl в сообщении #281525 писал(а):

Известно, что криволинейная координата не есть вектор, ибо преобразуется по закону $x=x(x')$, но дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.

Любому второкурснику известно , что dx это ковектор.

zbl в сообщении #282105 писал(а):

Дифференциал скаляра поэтому скаляр.

ахинея очередная, в любом учебнике написано, что дифференциал скалярной функции это ковектор

zbl в сообщении #282105 писал(а):

Продифференцируйте закон преобразования вектора -- получите, что дифференциал вектора не так же, как сам вектор преобразуется (дифференциал вектора -- не вектор).

опть глупость: дифференциал в тензорном анализе вообще определен только на дифференциальных формах, но не на векторах.

zbl в сообщении #282042 писал(а):

Просто есть разная терминология в разных областях знания.
В физике вектором и дифференциалом зовут не совсем то же самое, что в математике.

Не надо впутывать физиков в свое невежество. Физики прекрасно понимают эти вещи и не лепят то, что Вы здесь лепите. Самое разумное, что Вы можете теперь сделать, это сесть наконец за учебники. Просто чтоб более не позориться и свою кафедру не позорить:
http://w3.ivanovo.ac.ru/win1251/fac_phy ... od/zbl.htm
(ссылка взята с профайла топикстартера)

[terminator-II]

зы Модератору, который будет меня банить:а не объясните ли заодно, как у вас люди ,которые не волокут базовых понятий попадают в "заслуженные участники"?

[zbl]

terminator-II в сообщении #282140 писал(а):

Компоненты это числа (в линейной алгебре) или функции точки (в диф. геометрии) но это не символы dx, как Вы тут пишите:

zbl в сообщении #281525 писал(а):

Известно, что криволинейная координата не есть вектор, ибо преобразуется по закону $x=x(x')$, но дифференциал координаты -- вектор, так как преобразуется по закону $dx=\frac{\partial x}{\partial x'}dx'$.

Любому второкурснику известно , что dx это ковектор.

Это градиент -- ковектор.
А градиент зовут внешним дифференциалом и он ковектор.
Дифференциал -- это функционал на касательном пространстве, поэтому он снова ковектор.
А теперь забудьте про всё это.
Закон преобразования компонентной величины, составленной из дифференциалов координат вдоль некоторого направления какой?
А компонентной величины, составленной из производных некоторой скалярной функции вдоль некоторого направления какой?
Кто из них вектор, а кто ко-вектор?

Я понимаю, если бы сказал, мол дифференциал -- это вектор и всё.
Написал же, почему именно он вектор, не ужели не понятно, о чём речь после этого, что дифференциалом зову покоординатный дифференциал, а не внешний?

terminator-II в сообщении #282140 писал(а):

ахинея очередная, в любом учебнике написано, что дифференциал скалярной функции это ковектор

Вы, когда учебники читаете, ещё и думайте.
Внешний дифференциал ковектор.
Градиент скаляра -- ковектор.
Дифференциал скаляра (покоординатный) -- скаляр.
Квадрат покоординатного дифференциала, кстати, нулю не равен, разумеется.

terminator-II в сообщении #282140 писал(а):

опть глупость: дифференциал в тензорном анализе вообще определен только на дифференциальных формах, но не на векторах.

Да откройте, наконец, Л.Л., посмотрите на их обозначения и переведите их на свой тарабарский язык.
Разглядите тогда, об чём речь идёт, и что дифференциал вектора не вектор и не ковектор.
Не о том совсем.
Если вопрос не понимаете, то просите разъяснить, а не гоните пургу -- толку от этого не бывает.

terminator-II в сообщении #282140 писал(а):

Не надо впутывать физиков в свое невежество.

Вы что такое физически бесконечно малое себе хорошо представляете?
Дифференциал в физике -- это физически бесконечно малое приращение и не что иное.

[nestoklon]

zbl в сообщении #282397 писал(а):

Написал же, почему именно он вектор

Так к этому "почему" в основном и претензии у народа.
Вот вы пишете

zbl в сообщении #282042 писал(а):

nestoklon в сообщении #281816 писал(а):

Возьмите любую функцию. Выпишете её дифференциал. Он как по вашему преобразуется?

Дифференциал скаляра что ли? -- как скаляр и будет, то есть -- никак.
Или любую многокомпонентную величину, компоненты которой заданы как функции координат? -- от тех функций зависит, например вектор тоже так можно задать.

То есть делаете вид, что не поняли. А имелась в виду тривиальнейшая вещь -- ваша т.н. криволинейная координата сама есть функция. Чем она хуже произвольной функции, непонятно. То есть вы подразумеваете что-то дополнительное, о чём умалчиваете.

Вы отвечаете например вот так:

zbl в сообщении #282397 писал(а):

Я понимаю, если бы сказал, мол дифференциал -- это вектор и всё.

А выше пишете что

zbl в сообщении #282105 писал(а):

Дифференциал, понятно, вдоль заданного направления имеется в виду

Дифференциал вдоль заданного направления -- это что-то странное, что даже в ЛЛ днём с огнём не найти. Вы, возможно, имели в виду производную по направлению?

(Оффтоп)

прошу прощения за ссылки на википедию. Просто гугл первым выкидывает её. Для баланса нормальная ссылка

Так это ж никакой не дифференциал. Хотя и похоже отдалённо.

zbl в сообщении #282105 писал(а):

Я уже сослался на Л.Л.; Вы учебник физики читали, когда были студентом? там вектор -- это набор компонент, которые преобразуются по тому же закону, что дифференциалы координат.
Это в математике теперь (раньше и там был тоже координатный формализм) вектор -- это элемент векторного пространства, а дифференциал -- это функционал на функционале на элементе векторного пространства.

Вы уж меня извините, я сам физик. Но не инженер-механик, к сожалению. Так что приходится иногда в книжки по математике заглядывать. Чего и вам советую. Математики -- они не дураки. Они просто иногда заботятся о тонкостях, которые физикам на фиг не нужны. Если уж берёте у них терминологию, будьте любезны называть вещи своими именами.

[zbl]

Хоккей, начинаю понимать, почему меня не понимают.

nestoklon в сообщении #282411 писал(а):

zbl в сообщении #282397 писал(а):

Написал же, почему именно он вектор

Так к этому "почему" в основном и претензии у народа.

Но не я же придумал, что вектором называется то, что преобразуется как дифференциалы координат.
Это хрестоматийное понятие, хотя и древнее.

nestoklon в сообщении #282411 писал(а):

То есть делаете вид, что не поняли. А имелась в виду тривиальнейшая вещь -- ваша т.н. криволинейная координата сама есть функция. Чем она хуже произвольной функции, непонятно. То есть вы подразумеваете что-то дополнительное, о чём умалчиваете.

Но я действительно не понимаю, почему Вы разницы между скаляром и координатой не видите.
И то и другое -- функция координат.
Но координата при замене координат меняется как координата, а скаляр тем же самым остаётся -- то остаётся тем же самым, как он от координат зависел, как от старых он зависел, так же и от новых зависит -- он сам не меняется, вот о чём речь.
Ну, возьмите скалярное произведение двух векторов в пример -- это скаляр, он задан в каждой точке как функция координат и не меняется при замене координат.
Теперь, мы смотрим на разность между его значением в двух близких точках -- это его дифференциал по координатам, который Вы выписывали раньше.
Он меняется при замене координат? -- нет, не меняется, потому что по сути есть скалярное произведение того, что преобразуется как вектор (набор дифференциалов координат) с тем, что преобразуется как ковектор (набор производных).

nestoklon в сообщении #282411 писал(а):

Дифференциал вдоль заданного направления -- это что-то странное, что даже в ЛЛ днём с огнём не найти.

Я уже слов не нахожу, как пояснить.
Берём небольшие приращения координат, составляем из них многокомпонентную величину.
Получаем то, что я назвал дифференциалом в направлении -- какие именно значения каждой компоненты возьмём, в таком направлении приращение координат получим.
Имею в виду, что направление это считается заданным, а не произвольным.
Только о направлении говорю, потому что дифференциалы координат бесконечно малые или произвольные, считайте как хотите, от того ничего не зависит, если направление не меняется.
Ну, хорошо, скажем вместо этого дифференциал радиус-вектора -- понятнее станет, о чём речь?

nestoklon в сообщении #282411 писал(а):

Вы, возможно, имели в виду производную по направлению?

Да нет же, приращение функции, которое она получает при приращении координат в данном направлении.
И дифференциал вектора так же.
Ну Л.Л. же, донер ветер...

nestoklon в сообщении #282411 писал(а):

Математики -- они не дураки. Они просто иногда заботятся о тонкостях, которые физикам на фиг не нужны. Если уж берёте у них терминологию, будьте любезны называть вещи своими именами.

Признаю, что, как обычно, меня сразу только один Котофеич понимает, но не думал, что после того, как сказано десть раз, что дифференциал вектор, потому что преобразуется как вектор, а квадрат его нулю не равен, кто-то может подумать, что я внешний дифференциал имею в виду.

Вопрос к аудитории: кто-то ещё сомневается, что Л.Л. вычисляют дифференциал вектора и говорят, что тот не вектор? -- откройте книжку.
Я здесь имею в виду дифференцирование только именно в этом смысле.
К дифференциальным формам это всё прямого отношения не имеет.
Дифференциал скаляра тогда скаляр, а дифференциал вектора тогда не вектор и не ковектор, а неведома зверюшка.
Мне же нужна, если она вообще есть, многокомпонентная величина, дифференциал которой преобразуется как вектор, но координатного преобразования от любых координат к её компонентам не существует.
То есть, есть векторное поле с отличным от нуля ротором и эти векторы равны дифференциалам некоторого зверя, как тот зверь называется, если он вообще существует? как он преобразуется при преобразовании координат?

[ewert]

zbl в сообщении #282478 писал(а):

а дифференциал вектора тогда не вектор и не ковектор, а неведома зверюшка.

Ведома. Производная векторной функции -- это один раз ко- и один раз контравариантный тензор. Или, если угодно, матрица некоторого линейного оператора. Её ещё некоторые т.т. любят называть матрицей Якоби. А дифференциал векторной функции -- это значение того оператора на некотором векторе, интерпретируемом как бесконечно малое приращение независимой (векторной) переменной. В частности, дифференциал радиус-вектора буквально с тем приращением и совпадает. Ибо производная единична.

[terminator-II]

боюсь, что теперь Вам придется ему объяснять чем отличается векторное поле от векторной функции